Номер 3.75, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.75, страница 114.

3.75 a) $(\sqrt[3]{x})^2;$

б) $(\sqrt[4]{m})^5;$

B) $(\sqrt[5]{ab^4})^2;$

г) $(\sqrt[3]{4x^3y^2})^2.$

а) Чтобы возвести корень в степень, можно воспользоваться свойством $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$. Это свойство позволяет внести показатель степени под знак корня.

В данном случае имеем выражение $(\sqrt[3]{x})^2$.

Применяя указанное свойство, где $n=3$, $a=x$ и $m=2$, получаем:

$(\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2}$

Дальнейшее упрощение невозможно, так как степень подкоренного выражения ($2$) меньше показателя корня ($3$).

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$

б) Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$.

Для выражения $(\sqrt[4]{m})^5$ имеем $n=4$, $a=m$ и $m=5$.

Внесем степень под знак корня:

$(\sqrt[4]{m})^5 = \sqrt[4]{m^5}$

Так как степень подкоренного выражения ($5$) больше показателя корня ($4$), мы можем вынести множитель из-под знака корня. Для этого представим $m^5$ в виде произведения $m^4 \cdot m$.

$\sqrt[4]{m^5} = \sqrt[4]{m^4 \cdot m} = \sqrt[4]{m^4} \cdot \sqrt[4]{m}$

Поскольку $\sqrt[4]{m^4} = m$ (при условии $m \ge 0$), получаем:

$m\sqrt[4]{m}$

Ответ: $m\sqrt[4]{m}$

в) Для выражения $(\sqrt[5]{ab^4})^2$ применим свойство $(\sqrt[n]{A})^m = \sqrt[n]{A^m}$, где $A = ab^4$.

Вносим степень $2$ под знак корня:

$(\sqrt[5]{ab^4})^2 = \sqrt[5]{(ab^4)^2}$

Теперь возведем в квадрат выражение под корнем, используя свойство $(xyz)^k = x^k y^k z^k$ и $(x^p)^q = x^{pq}$:

$(ab^4)^2 = a^2 \cdot (b^4)^2 = a^2b^{4 \cdot 2} = a^2b^8$

Получаем выражение $\sqrt[5]{a^2b^8}$.

Степень множителя $b$ ($8$) больше показателя корня ($5$), поэтому можно вынести часть этого множителя из-под знака корня. Представим $b^8$ как $b^5 \cdot b^3$.

$\sqrt[5]{a^2b^8} = \sqrt[5]{a^2 \cdot b^5 \cdot b^3} = \sqrt[5]{b^5 \cdot a^2b^3} = \sqrt[5]{b^5} \cdot \sqrt[5]{a^2b^3}$

Так как $\sqrt[5]{b^5} = b$, окончательный результат:

$b\sqrt[5]{a^2b^3}$

Ответ: $b\sqrt[5]{a^2b^3}$

г) Рассмотрим выражение $(\sqrt[3]{4x^3y^2})^2$. Сначала внесем степень $2$ под знак корня по свойству $(\sqrt[n]{A})^m = \sqrt[n]{A^m}$.

$(\sqrt[3]{4x^3y^2})^2 = \sqrt[3]{(4x^3y^2)^2}$

Далее возведем в квадрат подкоренное выражение:

$(4x^3y^2)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^2)^2 = 16x^{3 \cdot 2}y^{2 \cdot 2} = 16x^6y^4$

Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{16x^6y^4}$.

Теперь упростим его, вынеся множители из-под знака корня. Показатель корня равен $3$. Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы их степени были кратны $3$.

$16 = 8 \cdot 2 = 2^3 \cdot 2$

$x^6 = (x^2)^3$

$y^4 = y^3 \cdot y$

Подставим эти разложения в корень:

$\sqrt[3]{16x^6y^4} = \sqrt[3]{(2^3 \cdot 2) \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3 \cdot y)}$

Сгруппируем множители, степени которых кратны трем:

$\sqrt[3]{(2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3) \cdot (2 \cdot y)} = \sqrt[3]{(2x^2y)^3 \cdot 2y}$

Выносим множитель $(2x^2y)^3$ из-под знака кубического корня:

$\sqrt[3]{(2x^2y)^3} \cdot \sqrt[3]{2y} = 2x^2y\sqrt[3]{2y}$

Ответ: $2x^2y\sqrt[3]{2y}$