Номер 3.79, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.79, страница 114.

3.79* Упростите числовое выражение:

а) $ \sqrt{2\sqrt{3}}; $

б) $ \sqrt[3]{3\sqrt{2}}; $

в) $ \sqrt{2\sqrt[3]{3}}; $

г) $ \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt{4}}}; $

д) $ \sqrt{2\sqrt[3]{2}:\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}; $

е) $ \sqrt[3]{32\sqrt[4]{4}\cdot\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}. $

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{2\sqrt{3}}$, внесем множитель 2 под внутренний знак корня. Поскольку внешний корень является квадратным (степень 2), множитель 2 вносится под внутренний корень, будучи возведенным в квадрат:$\sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{12}}$.Затем, используя свойство вложенных корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, объединим корни:$\sqrt{\sqrt{12}} = \sqrt[2 \cdot 2]{12} = \sqrt[4]{12}$.Ответ: $\sqrt[4]{12}$.

б) В выражении $\sqrt[3]{3\sqrt{2}}$ внесем множитель 3 под внутренний квадратный корень, возведя его в квадрат:$\sqrt[3]{3\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{3^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{9 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{18}}$.Далее объединим кубический и квадратный корни:$\sqrt[3]{\sqrt{18}} = \sqrt[3 \cdot 2]{18} = \sqrt[6]{18}$.Ответ: $\sqrt[6]{18}$.

в) В выражении $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ внесем множитель 2 под внутренний кубический корень, возведя его в куб:$\sqrt{2\sqrt[3]{3}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{24}}$.Объединим квадратный и кубический корни:$\sqrt{\sqrt[3]{24}} = \sqrt[2 \cdot 3]{24} = \sqrt[6]{24}$.Ответ: $\sqrt[6]{24}$.

г) Упростим выражение $\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt{4}}}$, начиная с самого внутреннего корня.Сначала вычислим $\sqrt{4} = 2$. Выражение примет вид: $\sqrt{2\sqrt[4]{4 \cdot 2}} = \sqrt{2\sqrt[4]{8}}$.Теперь внесем множитель 2 под корень четвертой степени, возведя его в четвертую степень:$\sqrt{2\sqrt[4]{8}} = \sqrt{\sqrt[4]{2^4 \cdot 8}} = \sqrt{\sqrt[4]{16 \cdot 8}} = \sqrt{\sqrt[4]{128}}$.Объединим корни: $\sqrt[2 \cdot 4]{128} = \sqrt[8]{128}$.Так как $128 = 2^7$, окончательный ответ: $\sqrt[8]{2^7}$.Ответ: $\sqrt[8]{2^7}$.

д) Рассмотрим выражение $\sqrt{2\sqrt[3]{2}} : \sqrt[3]{2\sqrt{2}}$. Упростим делимое и делитель по отдельности.Делимое: $\sqrt{2\sqrt[3]{2}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{16}$.Делитель: $\sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{2^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{4 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{8}} = \sqrt[6]{8}$.Теперь выполним деление: $\frac{\sqrt[6]{16}}{\sqrt[6]{8}} = \sqrt[6]{\frac{16}{8}} = \sqrt[6]{2}$.Ответ: $\sqrt[6]{2}$.

е) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{4}} \cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}$ перейдем к степеням с рациональными показателями и представим числа как степени двойки ($32=2^5, 4=2^2$).Первый множитель: $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{4}} = (2^5 \cdot (2^2)^{1/4})^{1/3} = (2^5 \cdot 2^{2/4})^{1/3} = (2^5 \cdot 2^{1/2})^{1/3} = (2^{5 + 1/2})^{1/3} = (2^{11/2})^{1/3} = 2^{11/6}$.Второй множитель: $\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}} = (2 \cdot (2^2 \cdot (2^2)^{1/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^2 \cdot 2^{2/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^{2+2/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^{8/3})^{1/4})^{1/2} = (2^1 \cdot 2^{8/12})^{1/2} = (2^1 \cdot 2^{2/3})^{1/2} = (2^{1+2/3})^{1/2} = (2^{5/3})^{1/2} = 2^{5/6}$.Перемножим полученные степени: $2^{11/6} \cdot 2^{5/6} = 2^{11/6 + 5/6} = 2^{16/6} = 2^{8/3}$.Представим результат в виде корня: $2^{8/3} = 2^{2+2/3} = 2^2 \cdot 2^{2/3} = 4\sqrt[3]{2^2} = 4\sqrt[3]{4}$.Ответ: $4\sqrt[3]{4}$.