Номер 3.84, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.7*. Функция y=корень n-ой степени из x (x больше или равен 0) - номер 3.84, страница 117.

Условие.

3.84 а) $y = \sqrt{x}$;

б) $y = \sqrt[3]{x}$, $x \ge 0$;

В) $y = \sqrt[4]{x}$;

Г) $y = \sqrt[5]{x}$, $x \ge 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $D(y) = [0, +\infty)$, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$, поскольку арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Для нахождения обратной функции поменяем местами $x$ и $y$: $x = \sqrt{y}$. Чтобы выразить $y$, возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $x \ge 0$: $y = x^2$. Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $y = x^2, x \ge 0$.

б) Дана функция $y = \sqrt[3]{x}$ с ограничением $x \ge 0$. Область определения задана условием: $D(y) = [0, +\infty)$. При $x \ge 0$, значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ также неотрицательны, следовательно, область значений $E(y) = [0, +\infty)$. Поменяем местами $x$ и $y$, чтобы найти обратную функцию: $x = \sqrt[3]{y}$. Возведем обе части уравнения в куб: $y = x^3$. Областью определения обратной функции является область значений исходной, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $y = x^3, x \ge 0$.

в) Дана функция $y = \sqrt[4]{x}$. Область определения (подкоренное выражение для корня четной степени) $D(y) = [0, +\infty)$. Область значений (арифметический корень четной степени) $E(y) = [0, +\infty)$. Меняем местами $x$ и $y$: $x = \sqrt[4]{y}$. Возводим обе части уравнения в четвертую степень, учитывая, что $x \ge 0$: $y = x^4$. Область определения для обратной функции — это область значений исходной: $x \ge 0$.

Ответ: $y = x^4, x \ge 0$.

г) Дана функция $y = \sqrt[5]{x}$ с ограничением $x \ge 0$. Область определения задана: $D(y) = [0, +\infty)$. Для неотрицательных $x$ значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ также неотрицательны, поэтому область значений $E(y) = [0, +\infty)$. Чтобы найти обратную функцию, меняем $x$ и $y$ местами: $x = \sqrt[5]{y}$. Возводим обе части уравнения в пятую степень: $y = x^5$. Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $y = x^5, x \ge 0$.