Номер 3.88, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.8*. Функция y=корень n-ой степени из x. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.88, страница 118.

3.88° Для каких n (чётных или нечётных) функция $y = \sqrt[n]{x}$ является нечётной?

Для того чтобы определить, при каких значениях $n$ функция $y = \sqrt[n]{x}$ является нечётной, необходимо вспомнить определение нечётной функции.

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим два случая для показателя корня $n$.

1. Пусть $n$ — чётное натуральное число ($n = 2, 4, 6, \dots$).

В этом случае функция $y = \sqrt[n]{x}$ определена только для неотрицательных значений аргумента, так как извлекать корень чётной степени из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя. Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

Эта область определения не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x=1$ принадлежит области определения, а точка $x=-1$ — нет. Поскольку первое условие из определения нечётной функции не выполняется, функция $y = \sqrt[n]{x}$ при чётном $n$ не является нечётной.

2. Пусть $n$ — нечётное натуральное число ($n = 3, 5, 7, \dots$).

В этом случае корень нечётной степени можно извлекать из любого действительного числа. Область определения функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, то есть все действительные числа.

Эта область определения симметрична относительно нуля, так что первое условие выполняется.

Проверим выполнение второго условия: $f(-x) = -f(x)$.

Для функции $f(x) = \sqrt[n]{x}$ имеем:

$f(-x) = \sqrt[n]{-x}$

По свойству корней нечётной степени, $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для любого действительного $a$. Следовательно, $f(-x) = \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$.

А так как $-f(x) = -\sqrt[n]{x}$, то мы получаем, что $f(-x) = -f(x)$. Второе условие также выполняется.

Таким образом, функция $y = \sqrt[n]{x}$ является нечётной при нечётных значениях $n$.

Ответ: для нечётных $n$.