Номер 3.95, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.8*. Функция y=корень n-ой степени из x. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.95, страница 119.

3.95* Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{-x^2 + 6x - 5} + \sqrt[4]{x^2 - 8x + 15};$

б) $y = \sqrt[4]{12 + 4x - x^2} + \sqrt[6]{x^2 - 3x - 10};$

в) $y = \sqrt{\frac{-x + 5}{x + 1}} + \sqrt{\frac{x}{x - 3}};$

г) $y = \sqrt{\frac{x + 3}{-x + 6}} + \sqrt[3]{\frac{x - 4}{x + 1}};$

д) $y = \frac{\sqrt{(x^2 + 3x - 10) \cdot |x + 1|}}{\sqrt{-x^2 - x + 2}};$

е) $y = \frac{\sqrt{(x^2 + x - 6) \cdot |x + 2|}}{\sqrt[5]{-x^2 - x + 12}}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{-x^2 + 6x - 5} + \sqrt[4]{x^2 - 8x + 15}$ находится из условия, что подкоренные выражения корней четной степени (квадратного и четвертой степени) должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases}-x^2 + 6x - 5 \ge 0 \\x^2 - 8x + 15 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство: $-x^2 + 6x - 5 \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 6x + 5 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x + 5$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 6x + 5 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [1, 5]$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 8x + 15 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = 5$. Ветви параболы $y = x^2 - 8x + 15$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 8x + 15 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $D = [1, 5] \cap ((-\infty, 3] \cup [5, \infty))$. Пересечением является множество $[1, 3] \cup \{5\}$.
Ответ: $D(y) = [1, 3] \cup \{5\}$.

б) Область определения функции $y = \sqrt[4]{12 + 4x - x^2} + \sqrt[6]{x^2 - 3x - 10}$ определяется системой неравенств, так как оба корня имеют четную степень:
$\begin{cases}12 + 4x - x^2 \ge 0 \\x^2 - 3x - 10 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство: $12 + 4x - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 4x - 12 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 6$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-2, 6]$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 3x - 10 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.
Найдем пересечение полученных решений: $D = [-2, 6] \cap ((-\infty, -2] \cup [5, \infty))$. Пересечение состоит из точки $x = -2$ и отрезка $[5, 6]$.
Ответ: $D(y) = \{-2\} \cup [5, 6]$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{-x+5}{x+1}} + \sqrt{\frac{x}{x-3}}$ задается системой неравенств, так как подкоренные выражения квадратных корней должны быть неотрицательными, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.
$\begin{cases}\frac{-x+5}{x+1} \ge 0 \\\frac{x}{x-3} \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство: $\frac{-x+5}{x+1} \ge 0 \implies \frac{x-5}{x+1} \le 0$. Методом интервалов находим, что решение: $x \in (-1, 5]$.
Решим второе неравенство: $\frac{x}{x-3} \ge 0$. Методом интервалов находим, что решение: $x \in (-\infty, 0] \cup (3, \infty)$.
Найдем пересечение решений: $D = (-1, 5] \cap ((-\infty, 0] \cup (3, \infty))$. Пересечением является объединение интервалов $(-1, 0]$ и $(3, 5]$.
Ответ: $D(y) = (-1, 0] \cup (3, 5]$.

г) Для функции $y = \sqrt{\frac{x+3}{-x+6}} + \sqrt[3]{\frac{x-4}{x+1}}$ необходимо, чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, а знаменатели дробей не равнялись нулю. Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного значения аргумента.
Получаем систему условий:
$\begin{cases}\frac{x+3}{-x+6} \ge 0 \\x+1 \ne 0\end{cases}$
Решим неравенство: $\frac{x+3}{-x+6} \ge 0 \implies \frac{x+3}{x-6} \le 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in [-3, 6)$.
Второе условие: $x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Объединяя условия, получаем область определения: $x \in [-3, 6)$ и $x \ne -1$.
Ответ: $D(y) = [-3, -1) \cup (-1, 6)$.

д) Для функции $y = \frac{\sqrt{(x^2+3x-10) \cdot |x+1|}}{\sqrt{-x^2-x+2}}$ необходимо, чтобы выражение под корнем в числителе было неотрицательным, а выражение под корнем в знаменателе — строго положительным.
Получаем систему неравенств:
$\begin{cases}(x^2+3x-10) \cdot |x+1| \ge 0 \\-x^2-x+2 > 0\end{cases}$
Решим второе неравенство: $-x^2-x+2 > 0 \implies x^2+x-2 < 0$. Корни уравнения $x^2+x-2=0$: $x_1=-2, x_2=1$. Решение неравенства: $x \in (-2, 1)$.
Решим первое неравенство: $(x^2+3x-10) \cdot |x+1| \ge 0$. Так как $|x+1| \ge 0$ всегда, неравенство сводится к двум случаям:
1) $x+1=0 \implies x=-1$. В этом случае неравенство $0 \ge 0$ верно, значит $x=-1$ является решением.
2) $|x+1|>0$, тогда $x^2+3x-10 \ge 0$. Корни уравнения $x^2+3x-10=0$: $x_1=-5, x_2=2$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup [2, \infty)$.
Общее решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup [2, \infty) \cup \{-1\}$.
Найдем пересечение множеств $(-2, 1)$ и $((-\infty, -5] \cup [2, \infty) \cup \{-1\})$. Единственная общая точка — это $x=-1$.
Ответ: $D(y) = \{-1\}$.

е) Для функции $y = \frac{\sqrt{(x^2+x-6) \cdot |x+2|}}{\sqrt[5]{-x^2-x+12}}$ необходимо, чтобы выражение под квадратным корнем в числителе было неотрицательным, а знаменатель не равнялся нулю. Корень пятой степени определен для любого числа, поэтому нужно лишь, чтобы его аргумент не был равен нулю.
Получаем систему условий:
$\begin{cases}(x^2+x-6) \cdot |x+2| \ge 0 \\-x^2-x+12 \ne 0\end{cases}$
Решим первое неравенство: $(x^2+x-6) \cdot |x+2| \ge 0$. Так как $|x+2| \ge 0$, неравенство выполняется, если $x^2+x-6 \ge 0$ или если $x+2=0$.
Решение $x+2=0$ дает $x=-2$.
Решаем $x^2+x-6 \ge 0$. Корни уравнения $x^2+x-6=0$: $x_1=-3, x_2=2$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.
Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, -3] \cup \{-2\} \cup [2, \infty)$.
Решим второе условие: $-x^2-x+12 \ne 0 \implies x^2+x-12 \ne 0$. Корни уравнения $x^2+x-12=0$: $x_1=-4, x_2=3$. Следовательно, $x \ne -4$ и $x \ne 3$.
Исключим эти точки из найденного множества: $x=-4$ исключается из $(-\infty, -3]$, а $x=3$ исключается из $[2, \infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -4) \cup (-4, -3] \cup \{-2\} \cup [2, 3) \cup (3, \infty)$.