Номер 3.93, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.8*. Функция y=корень n-ой степени из x - номер 3.93, страница 119.

Условие.

Постройте графики функций (3.93–3.94):

3.93 а) $y = \sqrt[3]{x}$;

б) $y = \sqrt[3]{-x}$;

в) $y = \sqrt[3]{|x|}$;

г) $y = \sqrt[3]{x - 2}$;

д) $y = \sqrt[3]{x - 2}$;

е) $y = \sqrt[3]{2 - x}$;

ж) $y = |\sqrt[3]{x - 2}|$;

з) $y = \sqrt[3]{2 - |x|}$;

и) $y = |\sqrt[3]{2 - |x|} - 1|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = \sqrt[3]{x}$

Это график базовой функции кубического корня. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений функции — все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция является нечетной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$, поэтому её график симметричен относительно начала координат. Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

- при $x=0, y=\sqrt[3]{0}=0$; - при $x=1, y=\sqrt[3]{1}=1$; - при $x=8, y=\sqrt[3]{8}=2$; - при $x=-1, y=\sqrt[3]{-1}=-1$; - при $x=-8, y=\sqrt[3]{-8}=-2$.

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции. График проходит через начало координат, монотонно возрастает на всей области определения. В точке (0, 0) касательная к графику вертикальна.

Ответ: График функции — кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2) и монотонно возрастающая на всей числовой оси.

б) $y = \sqrt[3]{-x}$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ (пункт а) с помощью преобразования симметрии. Преобразование вида $y = f(-x)$ соответствует отражению графика функции $y=f(x)$ относительно оси OY. Таким образом, мы берем график $y = \sqrt[3]{x}$ и отражаем его симметрично относительно оси ординат. Ключевые точки для нового графика:

- при $x=0, y=0$; - при $x=-1, y=\sqrt[3]{-(-1)}=1$; - при $x=-8, y=\sqrt[3]{-(-8)}=2$; - при $x=1, y=\sqrt[3]{-1}=-1$; - при $x=8, y=\sqrt[3]{-8}=-2$.

Заметим также, что $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$. Это означает, что тот же график можно было получить, отразив график $y = \sqrt[3]{x}$ относительно оси OX. Функция является нечетной и монотонно убывает.

Ответ: График функции получается отражением графика $y=\sqrt[3]{x}$ относительно оси OY (или оси OX). Это монотонно убывающая кривая, симметричная относительно начала координат и проходящая через точки (-8, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, -1), (8, -2).

в) $y = \sqrt[3]{|x|}$

График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt[3]{x}$ с помощью преобразования, связанного с модулем аргумента. Преобразование вида $y = f(|x|)$ выполняется следующим образом: 1. Строится график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$. 2. Построенная часть графика отражается симметрично относительно оси OY.

Для $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, поэтому функция совпадает с $y = \sqrt[3]{x}$. Оставляем часть графика из пункта а), которая находится в первой координатной четверти (включая начало координат). Ключевые точки этой части: (0, 0), (1, 1), (8, 2). Теперь отражаем эту часть графика относительно оси OY. Точка (1, 1) перейдет в (-1, 1), точка (8, 2) — в (-8, 2). Полученная функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{|-x|} = \sqrt[3]{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. В точке (0, 0) график имеет "клюв" (точку заострения).

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=\sqrt[3]{x}$. Ветви графика выходят из точки (0, 0) и направлены вверх, проходя через точки (1, 1), (8, 2) и (-1, 1), (-8, 2).

г) $y = \sqrt[3]{x} - 2$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем вертикального сдвига. Преобразование вида $y = f(x) + c$ соответствует сдвигу графика $y = f(x)$ на $c$ единиц вдоль оси OY. В данном случае $c = -2$, что означает сдвиг вниз на 2 единицы. Берем график $y = \sqrt[3]{x}$ из пункта а) и сдвигаем его целиком на 2 единицы вниз. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на исходном графике перейдет в точку $(x_0, y_0 - 2)$. - (0, 0) → (0, -2) - (1, 1) → (1, -1) - (8, 2) → (8, 0) (это точка пересечения с осью OX) - (-1, -1) → (-1, -3) - (-8, -2) → (-8, -4)

Форма кривой сохраняется. Центр симметрии смещается из (0, 0) в (0, -2).

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Это монотонно возрастающая кривая, центр симметрии которой находится в точке (0, -2).

д) $y = \sqrt[3]{x-2}$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем горизонтального сдвига. Преобразование вида $y = f(x-a)$ соответствует сдвигу графика $y=f(x)$ на $a$ единиц вдоль оси OX. В данном случае $a=2$, что означает сдвиг вправо на 2 единицы. Берем график $y = \sqrt[3]{x}$ из пункта а) и сдвигаем его целиком на 2 единицы вправо. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на исходном графике перейдет в точку $(x_0 + 2, y_0)$. - (0, 0) → (2, 0) (это точка пересечения с осью OX) - (1, 1) → (3, 1) - (8, 2) → (10, 2) - (-1, -1) → (1, -1) - (-8, -2) → (-6, -2)

Форма кривой сохраняется. Центр симметрии смещается из (0, 0) в (2, 0).

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси OX. Это монотонно возрастающая кривая, центр симметрии которой находится в точке (2, 0).

е) $y = \sqrt[3]{2-x}$

Для построения графика этой функции выполним последовательность преобразований, исходя из базового графика $y = \sqrt[3]{x}$. Функцию можно переписать в виде $y = \sqrt[3]{-(x-2)}$. 1. Строим график $y_1 = \sqrt[3]{x}$ (как в пункте а). 2. Отражаем его симметрично относительно оси OY, чтобы получить график $y_2 = \sqrt[3]{-x}$ (как в пункте б). Это убывающая кривая, проходящая через (0,0). 3. Сдвигаем полученный график $y_2$ на 2 единицы вправо вдоль оси OX. Это даст нам искомый график $y = \sqrt[3]{-(x-2)} = \sqrt[3]{2-x}$.

Ключевые точки графика $y_2$ смещаются: - (0, 0) → (2, 0) - (-1, 1) → (1, 1) - (-8, 2) → (-6, 2) - (1, -1) → (3, -1)

Итоговый график — это убывающая кривая, проходящая через точку (2,0), которая является ее центром симметрии.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{-x}$ сдвигом на 2 единицы вправо. Это монотонно убывающая кривая, симметричная относительно точки (2, 0).

ж) $y = |\sqrt[3]{x} - 2|$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x} - 2$ (пункт г) применением операции взятия модуля ко всей функции. Преобразование вида $y = |f(x)|$ выполняется так: 1. Строится график функции $y = f(x)$. В нашем случае это $y = \sqrt[3]{x} - 2$. 2. Часть графика, расположенная ниже оси OX (где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси OX. 3. Часть графика, расположенная выше или на оси OX (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.

График $y = \sqrt[3]{x} - 2$ пересекает ось OX в точке, где $y=0$, то есть $\sqrt[3]{x} - 2 = 0$, откуда $x=8$. - При $x \ge 8$, $\sqrt[3]{x} \ge 2$, так что $\sqrt[3]{x}-2 \ge 0$. Эта часть графика $y = \sqrt[3]{x}-2$ не меняется. - При $x < 8$, $\sqrt[3]{x} < 2$, так что $\sqrt[3]{x}-2 < 0$. Эта часть графика отражается относительно оси OX.

Ключевые точки: - Точка (8, 0) остается на месте, в ней будет "клюв". - Точка (0, -2) переходит в (0, 2). - Точка (1, -1) переходит в (1, 1). - Точка (-8, -4) переходит в (-8, 4).

Ответ: График получается из графика $y = \sqrt[3]{x}-2$ отражением его части при $x<8$ относительно оси OX. График расположен полностью в верхней полуплоскости, касается оси OX в точке (8, 0), где имеет излом.

з) $y = \sqrt[3]{2-|x|}$

Это четная функция, так как $y(-x) = \sqrt[3]{2-|-x|} = \sqrt[3]{2-|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = \sqrt[3]{2-x}$. Это в точности график из пункта е) для неотрицательных $x$. Построим эту часть графика: - При $x=0, y=\sqrt[3]{2} \approx 1.26$. Это точка максимума. - При $x=1, y=\sqrt[3]{1}=1$. - При $x=2, y=\sqrt[3]{0}=0$. Точка пересечения с осью OX. - При $x=10, y=\sqrt[3]{-8}=-2$.

Теперь отразим эту ветвь (убывающую кривую из точки $(0, \sqrt[3]{2})$ через $(2,0)$) симметрично относительно оси OY. Получим вторую ветвь, проходящую через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 0)$. График имеет "клюв" в точке максимума $(0, \sqrt[3]{2})$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Он состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(0, \sqrt[3]{2})$ и пересекающих ось OX в точках (2, 0) и (-2, 0). В точке $(0, \sqrt[3]{2})$ график имеет излом (пик).

и) $y = |\sqrt[3]{2-|x|} - 1|$

Построение этого графика выполним в несколько шагов: 1. Возьмем график функции $y_1 = \sqrt[3]{2-|x|}$ из предыдущего пункта (з). 2. Построим график функции $y_2 = y_1 - 1 = \sqrt[3]{2-|x|} - 1$. Это сдвиг графика $y_1$ на 1 единицу вниз. Пик из точки $(0, \sqrt[3]{2})$ переместится в точку $(0, \sqrt[3]{2}-1)$. Точки пересечения с осью OX $(2, 0)$ и $(-2, 0)$ переместятся в $(2, -1)$ и $(-2, -1)$. Найдем новые точки пересечения с осью OX для $y_2$: $\sqrt[3]{2-|x|} - 1 = 0 \implies \sqrt[3]{2-|x|} = 1 \implies 2-|x|=1 \implies |x|=1$. То есть, $x=1$ и $x=-1$. 3. Построим искомый график $y = |y_2| = |\sqrt[3]{2-|x|} - 1|$. Для этого часть графика $y_2$, которая лежит ниже оси OX, отразим симметрично относительно оси OX.

График $y_2$ лежит ниже оси OX при $|x|>1$. Эта часть отражается вверх. - Точки $(2, -1)$ и $(-2, -1)$ на графике $y_2$ перейдут в точки $(2, 1)$ и $(-2, 1)$ на итоговом графике.

График $y_2$ лежит выше оси OX при $|x|<1$. Эта часть остается без изменений. - Она включает пик в точке $(0, \sqrt[3]{2}-1)$.

Точки пересечения с осью OX $(1, 0)$ и $(-1, 0)$ остаются на месте. В этих точках будут изломы ("клювы").

Ответ: График симметричен относительно оси OY и имеет форму, напоминающую букву W. Он касается оси OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, где имеет изломы. Локальный максимум находится в точке $(0, \sqrt[3]{2}-1)$, где также наблюдается излом. Весь график находится в верхней полуплоскости.