Номер 3.98, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.98, страница 121.

3.98 Если натуральное число N не есть куб натурального числа, то является ли число $\sqrt[3]{N}$ иррациональным?

Да, утверждение верно. Если натуральное число $N$ не является кубом натурального числа, то число $\sqrt[3]{N}$ является иррациональным. Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Предположим, что $\sqrt[3]{N}$ — рациональное число. По определению, любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное, и наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$. Так как $N$ — натуральное число, $\sqrt[3]{N} > 0$, поэтому можно считать, что $p$ также является натуральным числом.

Итак, пусть $\sqrt[3]{N} = \frac{p}{q}$, где $p, q \in \mathbb{N}$ и НОД$(p, q) = 1$.

Возведем обе части этого равенства в куб:

$(\sqrt[3]{N})^3 = \left(\frac{p}{q}\right)^3$

$N = \frac{p^3}{q^3}$

Выразим $p^3$, умножив обе части на $q^3$:

$N \cdot q^3 = p^3$

Из этого равенства следует, что произведение $N \cdot q^3$ равно $p^3$. Это означает, что $p^3$ делится на $q^3$ (поскольку $N = p^3/q^3$ должно быть целым, так как N - натуральное число).

По нашему предположению, числа $p$ и $q$ являются взаимно простыми. Это свойство сохраняется и при возведении в степень: если $p$ и $q$ не имеют общих простых делителей, то и $p^3$ и $q^3$ также не будут иметь общих простых делителей. Таким образом, $p^3$ и $q^3$ тоже взаимно просты, то есть НОД$(p^3, q^3) = 1$.

Мы имеем ситуацию, когда число $p^3$ делится на взаимно простое с ним число $q^3$. Это возможно только в одном случае: если делитель равен 1. Следовательно, $q^3 = 1$.

Так как $q$ — натуральное число, из уравнения $q^3 = 1$ следует, что $q = 1$.

Теперь подставим $q=1$ в наше исходное предположение:

$\sqrt[3]{N} = \frac{p}{1} = p$

Это означает, что $\sqrt[3]{N}$ является натуральным числом $p$. Возведя это равенство в куб, мы получаем:

$N = p^3$

Этот результат говорит о том, что $N$ является кубом натурального числа $p$. Однако это прямо противоречит условию задачи, согласно которому "натуральное число $N$ не есть куб натурального числа".

Поскольку наше первоначальное предположение (что $\sqrt[3]{N}$ — рациональное число) привело к противоречию, оно неверно.

Ответ: Да, число $\sqrt[3]{N}$ является иррациональным.