Номер 3.101, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.101, страница 121.

3.101 Докажите, что не существует рационального числа, куб которого равен:

а) $2$;

б) $3$;

в) $4$;

г) $5$.

Для доказательства всех утверждений воспользуемся общим методом — доказательством от противного. Мы предположим, что искомое рациональное число существует, и покажем, что это предположение приводит к противоречию. Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $x = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

а)

Предположим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (где НОД$(p, q) = 1$), куб которого равен 2.Запишем это в виде уравнения: $(\frac{p}{q})^3 = 2$.Преобразуем уравнение: $\frac{p^3}{q^3} = 2$, откуда $p^3 = 2q^3$.Из этого равенства следует, что $p^3$ является чётным числом (так как оно равно $2q^3$). Если куб целого числа чётен, то и само число чётно. Следовательно, $p$ — чётное число.Раз $p$ — чётное, его можно представить в виде $p = 2k$, где $k$ — некоторое целое число.Подставим это выражение для $p$ обратно в уравнение:$(2k)^3 = 2q^3$$8k^3 = 2q^3$Разделим обе части уравнения на 2:$4k^3 = q^3$Из нового равенства следует, что $q^3$ делится на 4, а значит, является чётным числом. Следовательно, само число $q$ также должно быть чётным.Таким образом, мы пришли к выводу, что и $p$, и $q$ являются чётными числами. Это означает, что они имеют общий делитель 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (то есть НОД$(p, q) = 1$).Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Доказано, что не существует рационального числа, куб которого равен 2.

б)

Предположим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (где НОД$(p, q) = 1$), куб которого равен 3.Запишем уравнение: $(\frac{p}{q})^3 = 3$.Это эквивалентно уравнению $p^3 = 3q^3$.Из этого уравнения следует, что $p^3$ делится на 3. Поскольку 3 — простое число, то если куб целого числа делится на 3, то и само число должно делиться на 3. Значит, $p$ кратно 3.Представим $p$ в виде $p = 3k$ для некоторого целого $k$.Подставим в наше уравнение:$(3k)^3 = 3q^3$$27k^3 = 3q^3$Разделим обе части на 3:$9k^3 = q^3$Из этого равенства следует, что $q^3$ делится на 9, а значит, делится и на 3. Так как 3 — простое число, то и $q$ должно делиться на 3.Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 3, то есть имеют общий делитель 3. Это противоречит условию, что дробь $\frac{p}{q}$ несократимая (НОД$(p, q) = 1$).Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Доказано, что не существует рационального числа, куб которого равен 3.

в)

Предположим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (где НОД$(p, q) = 1$), куб которого равен 4.Запишем уравнение: $(\frac{p}{q})^3 = 4$.Это приводит к уравнению $p^3 = 4q^3$.Из этого уравнения следует, что $p^3$ делится на 4, а значит, является чётным числом. Если куб числа чётен, то и само число чётно. Значит, $p$ — чётное число.Представим $p$ в виде $p = 2k$ для некоторого целого $k$.Подставим это в уравнение:$(2k)^3 = 4q^3$$8k^3 = 4q^3$Разделим обе части на 4:$2k^3 = q^3$Это уравнение показывает, что $q^3$ является чётным числом (делится на 2). Следовательно, $q$ также является чётным числом.Мы снова пришли к выводу, что и $p$, и $q$ — чётные числа и имеют общий делитель 2. Это противоречит нашему условию, что дробь $\frac{p}{q}$ несократимая.Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: Доказано, что не существует рационального числа, куб которого равен 4.

г)

Предположим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (где НОД$(p, q) = 1$), куб которого равен 5.Запишем уравнение: $(\frac{p}{q})^3 = 5$.Это приводит к уравнению $p^3 = 5q^3$.Из этого уравнения видно, что $p^3$ делится на 5. Поскольку 5 — простое число, то если куб числа делится на 5, то и само число делится на 5. Значит, $p$ кратно 5.Представим $p$ в виде $p = 5k$ для некоторого целого $k$.Подставим это в уравнение:$(5k)^3 = 5q^3$$125k^3 = 5q^3$Разделим обе части на 5:$25k^3 = q^3$Из этого следует, что $q^3$ делится на 25, а значит, делится и на 5. Так как 5 — простое число, то и $q$ должно делиться на 5.Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 5, то есть имеют общий делитель 5. Это противоречит условию, что дробь $\frac{p}{q}$ несократимая (НОД$(p, q) = 1$).Противоречие доказывает, что наше предположение было неверным.

Ответ: Доказано, что не существует рационального числа, куб которого равен 5.