Номер 3.102, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.9*. Корень степени n из натурального числа - номер 3.102, страница 121.

Условие.

3.102 Докажите иррациональность числа:

а) $ \sqrt[3]{2}; $

б) $ \sqrt[3]{p}, $ где p — простое число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) Докажем иррациональность числа $\sqrt[3]{2}$ методом от противного.

Предположим, что число $\sqrt[3]{2}$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ – целое число ($m \in \mathbb{Z}$), $n$ – натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), и эта дробь является несократимой, то есть наибольший общий делитель чисел $m$ и $n$ равен 1 (НОД(m, n) = 1).

Запишем равенство: $\sqrt[3]{2} = \frac{m}{n}$.

Возведем обе части равенства в третью степень:

$(\sqrt[3]{2})^3 = (\frac{m}{n})^3$

$2 = \frac{m^3}{n^3}$

Отсюда следует, что $m^3 = 2n^3$.

Из этого равенства видно, что $m^3$ является четным числом (так как оно равно произведению $2$ и $n^3$). Если куб целого числа является четным, то и само число должно быть четным. (Действительно, если бы $m$ было нечетным, то и $m^3 = m \cdot m \cdot m$ было бы нечетным). Следовательно, $m$ – четное число.

Раз $m$ – четное, его можно представить в виде $m = 2k$, где $k$ – некоторое целое число.

Подставим это выражение для $m$ в уравнение $m^3 = 2n^3$:

$(2k)^3 = 2n^3$

$8k^3 = 2n^3$

Разделим обе части на 2:

$4k^3 = n^3$, или $n^3 = 2(2k^3)$.

Из последнего равенства следует, что $n^3$ также является четным числом. Аналогично предыдущим рассуждениям, мы приходим к выводу, что и само число $n$ должно быть четным.

Таким образом, мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ являются четными числами. Это означает, что они оба делятся на 2, и их общий делитель отличен от 1. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt[3]{2}$ было неверным.

Ответ: Число $\sqrt[3]{2}$ является иррациональным, что и требовалось доказать.

б) Докажем иррациональность числа $\sqrt[3]{p}$, где $p$ – простое число, методом от противного. Пункт а) является частным случаем этого доказательства при $p=2$.

Предположим, что число $\sqrt[3]{p}$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ и НОД(m, n) = 1.

Запишем равенство: $\sqrt[3]{p} = \frac{m}{n}$.

Возведем обе части равенства в куб:

$(\sqrt[3]{p})^3 = (\frac{m}{n})^3$

$p = \frac{m^3}{n^3}$

Отсюда следует, что $m^3 = pn^3$.

Из этого равенства видно, что $m^3$ делится на простое число $p$. Согласно свойству простых чисел (если простое число $p$ делит произведение $a \cdot b$, то $p$ делит $a$ или $p$ делит $b$), если $p$ делит $m^3 = m \cdot m \cdot m$, то $p$ должно делить и само число $m$.

Раз $m$ делится на $p$, его можно представить в виде $m = pk$, где $k$ – некоторое целое число.

Подставим это выражение для $m$ в уравнение $m^3 = pn^3$:

$(pk)^3 = pn^3$

$p^3k^3 = pn^3$

Так как $p$ – простое число, то $p \neq 0$. Разделим обе части на $p$:

$p^2k^3 = n^3$, или $n^3 = p(pk^3)$.

Из последнего равенства следует, что $n^3$ также делится на $p$. Рассуждая аналогично, мы приходим к выводу, что и само число $n$ должно делиться на $p$.

Таким образом, мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ делятся на простое число $p$. Это означает, что их общий делитель не равен 1, а как минимум равен $p$. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt[3]{p}$ было неверным.

Ответ: Число $\sqrt[3]{p}$, где $p$ – простое число, является иррациональным, что и требовалось доказать.