Номер 3.102, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.102, страница 121.
№3.102 (с. 121)
Условие. №3.102 (с. 121)
скриншот условия

3.102 Докажите иррациональность числа:
а) $ \sqrt[3]{2}; $
б) $ \sqrt[3]{p}, $ где p — простое число.
Решение 1. №3.102 (с. 121)


Решение 2. №3.102 (с. 121)

Решение 3. №3.102 (с. 121)

Решение 4. №3.102 (с. 121)

Решение 5. №3.102 (с. 121)
a) Докажем иррациональность числа $\sqrt[3]{2}$ методом от противного.
Предположим, что число $\sqrt[3]{2}$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ – целое число ($m \in \mathbb{Z}$), $n$ – натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), и эта дробь является несократимой, то есть наибольший общий делитель чисел $m$ и $n$ равен 1 (НОД(m, n) = 1).
Запишем равенство: $\sqrt[3]{2} = \frac{m}{n}$.
Возведем обе части равенства в третью степень:
$(\sqrt[3]{2})^3 = (\frac{m}{n})^3$
$2 = \frac{m^3}{n^3}$
Отсюда следует, что $m^3 = 2n^3$.
Из этого равенства видно, что $m^3$ является четным числом (так как оно равно произведению $2$ и $n^3$). Если куб целого числа является четным, то и само число должно быть четным. (Действительно, если бы $m$ было нечетным, то и $m^3 = m \cdot m \cdot m$ было бы нечетным). Следовательно, $m$ – четное число.
Раз $m$ – четное, его можно представить в виде $m = 2k$, где $k$ – некоторое целое число.
Подставим это выражение для $m$ в уравнение $m^3 = 2n^3$:
$(2k)^3 = 2n^3$
$8k^3 = 2n^3$
Разделим обе части на 2:
$4k^3 = n^3$, или $n^3 = 2(2k^3)$.
Из последнего равенства следует, что $n^3$ также является четным числом. Аналогично предыдущим рассуждениям, мы приходим к выводу, что и само число $n$ должно быть четным.
Таким образом, мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ являются четными числами. Это означает, что они оба делятся на 2, и их общий делитель отличен от 1. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.
Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt[3]{2}$ было неверным.
Ответ: Число $\sqrt[3]{2}$ является иррациональным, что и требовалось доказать.
б) Докажем иррациональность числа $\sqrt[3]{p}$, где $p$ – простое число, методом от противного. Пункт а) является частным случаем этого доказательства при $p=2$.
Предположим, что число $\sqrt[3]{p}$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ и НОД(m, n) = 1.
Запишем равенство: $\sqrt[3]{p} = \frac{m}{n}$.
Возведем обе части равенства в куб:
$(\sqrt[3]{p})^3 = (\frac{m}{n})^3$
$p = \frac{m^3}{n^3}$
Отсюда следует, что $m^3 = pn^3$.
Из этого равенства видно, что $m^3$ делится на простое число $p$. Согласно свойству простых чисел (если простое число $p$ делит произведение $a \cdot b$, то $p$ делит $a$ или $p$ делит $b$), если $p$ делит $m^3 = m \cdot m \cdot m$, то $p$ должно делить и само число $m$.
Раз $m$ делится на $p$, его можно представить в виде $m = pk$, где $k$ – некоторое целое число.
Подставим это выражение для $m$ в уравнение $m^3 = pn^3$:
$(pk)^3 = pn^3$
$p^3k^3 = pn^3$
Так как $p$ – простое число, то $p \neq 0$. Разделим обе части на $p$:
$p^2k^3 = n^3$, или $n^3 = p(pk^3)$.
Из последнего равенства следует, что $n^3$ также делится на $p$. Рассуждая аналогично, мы приходим к выводу, что и само число $n$ должно делиться на $p$.
Таким образом, мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ делятся на простое число $p$. Это означает, что их общий делитель не равен 1, а как минимум равен $p$. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.
Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt[3]{p}$ было неверным.
Ответ: Число $\sqrt[3]{p}$, где $p$ – простое число, является иррациональным, что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.102 расположенного на странице 121 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.102 (с. 121), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.