Номер 3.102, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087768-8

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.102, страница 121.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№3.102 (с. 121)
Условие. №3.102 (с. 121)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 121, номер 3.102, Условие

3.102 Докажите иррациональность числа:

а) $ \sqrt[3]{2}; $

б) $ \sqrt[3]{p}, $ где p — простое число.

Решение 1. №3.102 (с. 121)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 121, номер 3.102, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 121, номер 3.102, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №3.102 (с. 121)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 121, номер 3.102, Решение 2
Решение 3. №3.102 (с. 121)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 121, номер 3.102, Решение 3
Решение 4. №3.102 (с. 121)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 121, номер 3.102, Решение 4
Решение 5. №3.102 (с. 121)

a) Докажем иррациональность числа $\sqrt[3]{2}$ методом от противного.

Предположим, что число $\sqrt[3]{2}$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ – целое число ($m \in \mathbb{Z}$), $n$ – натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), и эта дробь является несократимой, то есть наибольший общий делитель чисел $m$ и $n$ равен 1 (НОД(m, n) = 1).

Запишем равенство: $\sqrt[3]{2} = \frac{m}{n}$.

Возведем обе части равенства в третью степень:

$(\sqrt[3]{2})^3 = (\frac{m}{n})^3$

$2 = \frac{m^3}{n^3}$

Отсюда следует, что $m^3 = 2n^3$.

Из этого равенства видно, что $m^3$ является четным числом (так как оно равно произведению $2$ и $n^3$). Если куб целого числа является четным, то и само число должно быть четным. (Действительно, если бы $m$ было нечетным, то и $m^3 = m \cdot m \cdot m$ было бы нечетным). Следовательно, $m$ – четное число.

Раз $m$ – четное, его можно представить в виде $m = 2k$, где $k$ – некоторое целое число.

Подставим это выражение для $m$ в уравнение $m^3 = 2n^3$:

$(2k)^3 = 2n^3$

$8k^3 = 2n^3$

Разделим обе части на 2:

$4k^3 = n^3$, или $n^3 = 2(2k^3)$.

Из последнего равенства следует, что $n^3$ также является четным числом. Аналогично предыдущим рассуждениям, мы приходим к выводу, что и само число $n$ должно быть четным.

Таким образом, мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ являются четными числами. Это означает, что они оба делятся на 2, и их общий делитель отличен от 1. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt[3]{2}$ было неверным.

Ответ: Число $\sqrt[3]{2}$ является иррациональным, что и требовалось доказать.

б) Докажем иррациональность числа $\sqrt[3]{p}$, где $p$ – простое число, методом от противного. Пункт а) является частным случаем этого доказательства при $p=2$.

Предположим, что число $\sqrt[3]{p}$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ и НОД(m, n) = 1.

Запишем равенство: $\sqrt[3]{p} = \frac{m}{n}$.

Возведем обе части равенства в куб:

$(\sqrt[3]{p})^3 = (\frac{m}{n})^3$

$p = \frac{m^3}{n^3}$

Отсюда следует, что $m^3 = pn^3$.

Из этого равенства видно, что $m^3$ делится на простое число $p$. Согласно свойству простых чисел (если простое число $p$ делит произведение $a \cdot b$, то $p$ делит $a$ или $p$ делит $b$), если $p$ делит $m^3 = m \cdot m \cdot m$, то $p$ должно делить и само число $m$.

Раз $m$ делится на $p$, его можно представить в виде $m = pk$, где $k$ – некоторое целое число.

Подставим это выражение для $m$ в уравнение $m^3 = pn^3$:

$(pk)^3 = pn^3$

$p^3k^3 = pn^3$

Так как $p$ – простое число, то $p \neq 0$. Разделим обе части на $p$:

$p^2k^3 = n^3$, или $n^3 = p(pk^3)$.

Из последнего равенства следует, что $n^3$ также делится на $p$. Рассуждая аналогично, мы приходим к выводу, что и само число $n$ должно делиться на $p$.

Таким образом, мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ делятся на простое число $p$. Это означает, что их общий делитель не равен 1, а как минимум равен $p$. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt[3]{p}$ было неверным.

Ответ: Число $\sqrt[3]{p}$, где $p$ – простое число, является иррациональным, что и требовалось доказать.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.102 расположенного на странице 121 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.102 (с. 121), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться