Номер 3.100, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.100, страница 121.

3.100 Является ли кубом натурального числа:

a) $0$;

б) $1$;

в) $-8$;

г) $1000$?

а) Для того чтобы число было кубом натурального числа, необходимо, чтобы существовало натуральное число $n$ (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), при возведении которого в третью степень получалось бы заданное число. Проверим число 0. Нам нужно найти такое натуральное число $n$, что $n^3 = 0$. Единственным числом, куб которого равен нулю, является сам ноль ($0^3 = 0$). Однако, согласно стандартному определению, 0 не является натуральным числом. Следовательно, 0 не является кубом натурального числа.
Ответ: нет.

б) Проверим число 1. Ищем натуральное число $n$, для которого выполняется равенство $n^3 = 1$. Решением данного уравнения является $n = \sqrt[3]{1} = 1$. Число 1 является натуральным, поэтому 1 — это куб натурального числа.
Ответ: да.

в) Проверим число -8. Ищем натуральное число $n$ такое, что $n^3 = -8$. Все натуральные числа являются положительными. Куб любого положительного числа также всегда будет положительным ($n^3 > 0$ при $n > 0$). Так как число -8 отрицательное, оно не может быть кубом натурального числа. (Стоит отметить, что -8 является кубом целого, но не натурального, числа -2, поскольку $(-2)^3 = -8$).
Ответ: нет.

г) Проверим число 1000. Ищем натуральное число $n$ такое, что $n^3 = 1000$. Чтобы найти $n$, извлечем кубический корень из 1000: $n = \sqrt[3]{1000} = 10$. Число 10 является натуральным. Таким образом, 1000 является кубом натурального числа 10.
Ответ: да.