Номер 3.94, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.8*. Функция y=корень n-ой степени из x. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.94, страница 119.

3.94 a) $y = \sqrt[4]{x}$;

б) $y = \sqrt[4]{-x}$;

В) $y = \sqrt[4]{|x|}$;

Г) $y = \sqrt[4]{x - 2}$;

Д) $y = \sqrt[4]{x - 2}$;

е) $y = \sqrt[4]{2 - x}$;

Ж) $y = \left|\sqrt[4]{x - 2}\right|$;

З) $y = \sqrt[4]{2 - |x|}$;

И) $y = \left|\sqrt[4]{2 - |x|} - 1\right|$.

а) Для функции $y = \sqrt[4]{x}$.
Область определения ($D(y)$): Так как корень четной степени (4-й), выражение под корнем должно быть неотрицательным. Отсюда получаем неравенство: $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Арифметический корень четной степени по определению принимает только неотрицательные значения. Минимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$. При неограниченном увеличении $x$, значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt[4]{-x}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим $x \le 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 0]$.
Область значений ($E(y)$): Корень четной степени принимает только неотрицательные значения. Минимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$. При $x \to -\infty$, выражение $-x \to +\infty$, и $y$ неограниченно возрастает. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0]$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

в) Для функции $y = \sqrt[4]{|x|}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $|x|$ должно быть неотрицательным. Так как модуль любого действительного числа $|x| \ge 0$, это условие выполняется для любого $x$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
Область значений ($E(y)$): Выражение $|x|$ принимает все значения из промежутка $[0; +\infty)$. Корень четвертой степени из этих значений будет также принимать значения из промежутка $[0; +\infty)$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

г) Для функции $y = \sqrt[4]{x} - 2$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Выражение $\sqrt[4]{x}$ принимает значения из промежутка $[0; +\infty)$. Тогда выражение $y = \sqrt[4]{x} - 2$ будет принимать значения от $0-2 = -2$ до $+\infty$. Таким образом, область значений: $E(y) = [-2; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [-2; +\infty)$.

д) Для функции $y = \sqrt[4]{x-2}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $x-2$ должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Таким образом, область определения: $D(y) = [2; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Когда $x$ изменяется от $2$ до $+\infty$, выражение $x-2$ изменяется от $0$ до $+\infty$. Корень четвертой степени из этих значений будет принимать значения из промежутка $[0; +\infty)$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = [2; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

е) Для функции $y = \sqrt[4]{2-x}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $2-x$ должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, откуда $x \le 2$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 2]$.
Область значений ($E(y)$): Когда $x$ изменяется от $2$ до $-\infty$, выражение $2-x$ изменяется от $0$ до $+\infty$. Корень четвертой степени из этих значений будет принимать значения из промежутка $[0; +\infty)$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 2]$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

ж) Для функции $y = |\sqrt[4]{x} - 2|$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{x} - 2$. Ее область значений, как мы нашли в пункте г), есть $[-2; +\infty)$. Так как $y = |f(x)|$, значения $y$ будут неотрицательными. Минимальное значение $y=0$ достигается, когда $f(x)=0$, то есть $\sqrt[4]{x}=2$ или $x=16$. При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$ и $y \to +\infty$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

з) Для функции $y = \sqrt[4]{2-|x|}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $2-|x|$ должно быть неотрицательным: $2-|x| \ge 0$, что эквивалентно $|x| \le 2$. Это неравенство выполняется при $-2 \le x \le 2$. Таким образом, область определения: $D(y) = [-2; 2]$.
Область значений ($E(y)$): На отрезке $[-2; 2]$ выражение $|x|$ принимает значения от $0$ (при $x=0$) до $2$ (при $x=\pm2$). Тогда подкоренное выражение $2-|x|$ принимает значения от $2-2=0$ до $2-0=2$. Следовательно, $y = \sqrt[4]{2-|x|}$ принимает значения от $\sqrt[4]{0}=0$ до $\sqrt[4]{2}$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; \sqrt[4]{2}]$.
Ответ: Область определения $D(y) = [-2; 2]$, область значений $E(y) = [0; \sqrt[4]{2}]$.

и) Для функции $y = |\sqrt[4]{2-|x|} - 1|$.
Область определения ($D(y)$): Аналогично пункту з), выражение под корнем $2-|x| \ge 0$, откуда $D(y) = [-2; 2]$.
Область значений ($E(y)$): Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{2-|x|} - 1$. Из пункта з) мы знаем, что $\sqrt[4]{2-|x|}$ принимает значения из отрезка $[0; \sqrt[4]{2}]$. Тогда $f(x)$ принимает значения из отрезка $[0-1; \sqrt[4]{2}-1]$, то есть $[-1; \sqrt[4]{2}-1]$. Функция $y$ является модулем от $f(x)$: $y=|f(x)|$. Так как $0$ входит в промежуток $[-1; \sqrt[4]{2}-1]$, минимальное значение $y$ равно $0$. Максимальное значение будет равно $\max(|-1|, |\sqrt[4]{2}-1|)$. Поскольку $1 < \sqrt[4]{2} < 2$, то $0 < \sqrt[4]{2}-1 < 1$. Следовательно, $\max(1, \sqrt[4]{2}-1) = 1$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; 1]$.
Ответ: Область определения $D(y) = [-2; 2]$, область значений $E(y) = [0; 1]$.