Номер 3.92, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.8*. Функция y=корень n-ой степени из x. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.92, страница 119.

3.92 Является ли функция $y = \sqrt[2m+1]{x}$ $(m \in N)$ возрастающей?

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[2m+1]{x}$, где $m \in \mathbb{N}$.

Поскольку $m$ является натуральным числом (то есть $m \ge 1$), показатель корня $k = 2m+1$ является нечетным целым числом, большим или равным 3 (например, 3, 5, 7, ...).

Область определения функции с нечетным показателем корня — это все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля).

Чтобы определить, является ли функция возрастающей, можно исследовать ее на монотонность. Сделаем это двумя способами.

Способ 1: Исследование с помощью производной.

Функция является возрастающей на некотором промежутке, если ее производная на этом промежутке неотрицательна (и обращается в ноль лишь в отдельных точках). Представим функцию в виде степенной функции $y = x^{\frac{1}{2m+1}}$ и найдем ее производную:

$y' = \left(x^{\frac{1}{2m+1}}\right)' = \frac{1}{2m+1} x^{\frac{1}{2m+1} - 1} = \frac{1}{2m+1} x^{\frac{1 - (2m+1)}{2m+1}} = \frac{1}{2m+1} x^{\frac{-2m}{2m+1}}$.

Перепишем производную в виде дроби с корнем:

$y' = \frac{1}{(2m+1)x^{\frac{2m}{2m+1}}} = \frac{1}{(2m+1)\sqrt[2m+1]{x^{2m}}} = \frac{1}{(2m+1)(\sqrt[2m+1]{x})^{2m}}$.

Проанализируем знак производной $y'$ для $x \neq 0$ (в точке $x=0$ производная не определена, так как знаменатель обращается в ноль). Знаменатель состоит из двух множителей: $(2m+1)$ и $(\sqrt[2m+1]{x})^{2m}$.

Первый множитель $(2m+1)$ всегда положителен, так как по условию $m \in \mathbb{N}$.

Второй множитель $(\sqrt[2m+1]{x})^{2m}$ является результатом возведения ненулевого числа $\sqrt[2m+1]{x}$ в четную степень $2m$, поэтому он всегда положителен при $x \neq 0$.

Следовательно, знаменатель дроби положителен, числитель равен 1 (также положителен). Это означает, что производная $y' > 0$ для всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Так как функция $y(x)$ непрерывна на всей числовой оси (включая точку $x=0$), а ее производная положительна почти всюду на области определения, функция является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Способ 2: По определению возрастающей функции.

Функция $f(x)$ называется возрастающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из ее области определения из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Пусть $k=2m+1$. Нам нужно доказать, что если $x_1 < x_2$, то $\sqrt[k]{x_1} < \sqrt[k]{x_2}$.

Рассмотрим функцию $g(y) = y^k$, где $k$ — нечетное натуральное число. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что если $y_1 < y_2$, то и $y_1^k < y_2^k$.

Докажем утверждение от противного. Предположим, что для некоторых $x_1 < x_2$ выполняется обратное неравенство: $\sqrt[k]{x_1} \ge \sqrt[k]{x_2}$.

Поскольку функция $g(y) = y^k$ с нечетным $k$ является возрастающей, мы можем возвести обе части этого неравенства в степень $k$, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[k]{x_1})^k \ge (\sqrt[k]{x_2})^k$

$x_1 \ge x_2$

Полученное неравенство $x_1 \ge x_2$ противоречит исходному условию $x_1 < x_2$. Следовательно, наше предположение было неверным, и из $x_1 < x_2$ всегда следует $\sqrt[k]{x_1} < \sqrt[k]{x_2}$.

Таким образом, функция $y = \sqrt[2m+1]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: Да, данная функция является возрастающей.