Номер 3.87, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.8*. Функция y=корень n-ой степени из x. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.87, страница 118.

3.87° Какова область определения функции $y = \sqrt[n]{x}$ для:

а) чётных n;

б) нечётных n?

Областью определения функции называется множество всех значений аргумента $x$, при которых функция $y = f(x)$ определена (имеет смысл).

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[n]{x}$.

а) чётных n

Если показатель корня $n$ является чётным натуральным числом (например, $n = 2, 4, 6, \dots$), то по определению арифметического корня чётной степени, подкоренное выражение не может быть отрицательным. Это связано с тем, что любое действительное число, возведённое в чётную степень, даёт в результате неотрицательное число. Например, $2^4 = 16$ и $(-2)^4 = 16$. Не существует действительного числа, которое в чётной степени дало бы отрицательный результат.

Следовательно, для того чтобы выражение $\sqrt[n]{x}$ имело смысл при чётном $n$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

$x \ge 0$

Таким образом, областью определения функции $y = \sqrt[n]{x}$ при чётном $n$ является множество всех неотрицательных чисел.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

б) нечётных n

Если показатель корня $n$ является нечётным натуральным числом (например, $n = 3, 5, 7, \dots$), то корень нечётной степени определён для любого действительного числа, как положительного, так и отрицательного, и для нуля.

Это объясняется тем, что при возведении в нечётную степень знак числа сохраняется. Например, $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$, и $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$.

Следовательно, подкоренное выражение $x$ может быть любым действительным числом.

Таким образом, областью определения функции $y = \sqrt[n]{x}$ при нечётном $n$ является множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (или вся числовая прямая $\mathbb{R}$).