Номер 3.83, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.7*. Функция y=корень n-ой степени из x (x больше или равен 0) - номер 3.83, страница 117.

Условие.

Постройте график функции (3.83–3.84): Рис. 33

3.83

а) $x = 2y;$

б) $y = -5y;$

в) $x = y^2, y \ge 0;$

г) $x = y^3, y \ge 0;$

д) $x = 2y - 4;$

е) $x = y + 5;$

ж) $x = 2y^2, y \ge 0;$

з) $x = 5y^3, y \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана функция $x = 2y$. Это линейная зависимость. Чтобы построить график, удобнее выразить $y$ через $x$:

$y = \frac{1}{2}x$

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. Для построения прямой достаточно двух точек.

1. Если $x=0$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.

2. Если $x=2$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.

Соединив эти две точки, получим график функции.

Ответ: График функции — прямая линия, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

б)

В условии, вероятно, допущена опечатка. Предположим, что имелась в виду функция $x = -5y$. Это линейная зависимость. Выразим $y$ через $x$:

$y = -\frac{1}{5}x$

Это уравнение прямой, которая проходит через начало координат с угловым коэффициентом $k = -\frac{1}{5}$. Для построения найдем две точки.

1. Если $x=0$, то $y = -\frac{1}{5} \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

2. Если $x=5$, то $y = -\frac{1}{5} \cdot 5 = -1$. Точка $(5, -1)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: Если уравнение $x=-5y$, то график — прямая линия, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(5, -1)$.

в)

Дана функция $x = y^2$ с условием $y \ge 0$. Уравнение $x = y^2$ задает параболу, симметричную относительно оси Ox (горизонтальная парабола), с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вправо.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только ту часть графика, которая находится выше оси Ox (включая саму ось). Это верхняя ветвь параболы.

Можно выразить $y$ через $x$: $y = \sqrt{x}$. Это график стандартной функции квадратного корня.

Найдем несколько точек для построения:

1. Если $y=0$, то $x=0^2=0$. Точка $(0, 0)$.

2. Если $y=1$, то $x=1^2=1$. Точка $(1, 1)$.

3. Если $y=2$, то $x=2^2=4$. Точка $(4, 2)$.

Ответ: График — верхняя ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$. Это график функции $y = \sqrt{x}$.

г)

Дана функция $x = y^3$ с условием $y \ge 0$. Уравнение $x = y^3$ задает кубическую параболу, симметричную относительно начала координат. График этой функции можно получить, отразив график $y=x^3$ относительно прямой $y=x$.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем часть графика в первой координатной четверти. Если $y \ge 0$, то и $x = y^3 \ge 0$.

Выразим $y$ через $x$: $y = \sqrt[3]{x}$.

Найдем несколько точек:

1. Если $y=0$, то $x=0^3=0$. Точка $(0, 0)$.

2. Если $y=1$, то $x=1^3=1$. Точка $(1, 1)$.

3. Если $y=2$, то $x=2^3=8$. Точка $(8, 2)$.

Ответ: График — ветвь кубической параболы $x=y^3$ в первой координатной четверти, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(1, 1)$ и $(8, 2)$. Это график функции $y=\sqrt[3]{x}$ для $x \ge 0$.

д)

Дана функция $x = 2y - 4$. Это линейная функция. Выразим $y$ через $x$:

$2y = x + 4 \implies y = \frac{1}{2}x + 2$

Это уравнение прямой. Для построения найдем точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy: $x=0 \implies y = \frac{1}{2}(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.

2. Пересечение с осью Ox: $y=0 \implies 0 = \frac{1}{2}x + 2 \implies \frac{1}{2}x = -2 \implies x = -4$. Точка $(-4, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: График — прямая линия, проходящая через точки $(-4, 0)$ и $(0, 2)$.

е)

Дана функция $x = y + 5$. Это линейная функция. Выразим $y$ через $x$:

$y = x - 5$

Это уравнение прямой. Найдем точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy: $x=0 \implies y = 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.

2. Пересечение с осью Ox: $y=0 \implies 0 = x - 5 \implies x = 5$. Точка $(5, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: График — прямая линия, проходящая через точки $(5, 0)$ и $(0, -5)$.

ж)

Дана функция $x = 2y^2$ с условием $y \ge 0$. Уравнение $x = 2y^2$ задает горизонтальную параболу с вершиной в $(0, 0)$, ветви которой направлены вправо. Коэффициент 2 "растягивает" параболу $x=y^2$ вдоль оси Ox в 2 раза.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы берем только верхнюю ветвь этой параболы.

Выразим $y$ через $x$: $y^2 = \frac{x}{2} \implies y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ (берем положительный корень).

Найдем несколько точек:

1. Если $y=0$, то $x=2(0)^2=0$. Точка $(0, 0)$.

2. Если $y=1$, то $x=2(1)^2=2$. Точка $(2, 1)$.

3. Если $y=2$, то $x=2(2)^2=8$. Точка $(8, 2)$.

Ответ: График — верхняя ветвь параболы $x=2y^2$, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(2, 1)$ и $(8, 2)$.

з)

Дана функция $x = 5y^3$ с условием $y \ge 0$. Это кубическая парабола, растянутая вдоль оси Ox в 5 раз по сравнению с $x=y^3$.

Условие $y \ge 0$ оставляет только часть графика в первой координатной четверти.

Выразим $y$ через $x$: $y^3 = \frac{x}{5} \implies y = \sqrt[3]{\frac{x}{5}}$.

Найдем несколько точек для построения:

1. Если $y=0$, то $x=5(0)^3=0$. Точка $(0, 0)$.

2. Если $y=1$, то $x=5(1)^3=5$. Точка $(5, 1)$.

3. Если $y=2$, то $x=5(2)^3=40$. Точка $(40, 2)$.

Ответ: График — ветвь кубической параболы $x=5y^3$ в первой координатной четверти, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(5, 1)$ и $(40, 2)$.