Номер 3.77, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.77, страница 114.

3.77 а) $\sqrt[6]{27};$

б) $\sqrt[6]{16};$

в) $\sqrt[9]{64};$

г) $\sqrt[12]{81}.$

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[6]{27}$, необходимо представить подкоренное число в виде степени, основание которой является простым числом. Мы знаем, что $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3}$

Далее воспользуемся свойством корня $\sqrt[nk]{a^k} = \sqrt[n]{a}$, которое эквивалентно представлению корня в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.

В нашем случае: $\sqrt[6]{3^3} = 3^{3/6}$.

Сократим дробь в показателе степени: $3/6 = 1/2$.

Таким образом, выражение упрощается до: $3^{1/2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

б) Упростим выражение $\sqrt[6]{16}$. Сначала представим число 16 в виде степени. Мы знаем, что $16 = 2^4$.

Подставим это в выражение:

$\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4}$

Теперь представим корень в виде степени с дробным показателем:

$\sqrt[6]{2^4} = 2^{4/6}$

Сократим дробь в показателе степени: $4/6 = 2/3$.

Получаем: $2^{2/3}$.

Запишем это выражение обратно в виде корня: $2^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

в) Упростим выражение $\sqrt[9]{64}$. Представим число 64 в виде степени. Наиболее удобное представление — это степень с основанием 2: $64 = 2^6$.

Подставим это значение в выражение:

$\sqrt[9]{64} = \sqrt[9]{2^6}$

Перейдем к представлению в виде степени с дробным показателем:

$\sqrt[9]{2^6} = 2^{6/9}$

Сократим дробь в показателе: $6/9 = 2/3$.

Следовательно, выражение равно: $2^{2/3}$.

Вернемся к записи в виде корня: $2^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

г) Упростим выражение $\sqrt[12]{81}$. Представим число 81 в виде степени. Мы знаем, что $81 = 3^4$.

Запишем выражение с этим значением:

$\sqrt[12]{81} = \sqrt[12]{3^4}$

Используем представление в виде степени с дробным показателем:

$\sqrt[12]{3^4} = 3^{4/12}$

Сократим дробь в показателе: $4/12 = 1/3$.

Получаем: $3^{1/3}$.

Запишем результат в виде корня: $3^{1/3} = \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{3}$.