Номер 3.74, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.74, страница 114.

Упростите выражение (3.74–3.77):

3.74

а) $\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}};$

б) $\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}};$

В) $\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}};$

Г) $\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}}.$

а)

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}}$ воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[4]{\frac{m^3}{m}}$

Теперь упростим подкоренное выражение, используя свойство степеней $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$:

$\sqrt[4]{\frac{m^3}{m^1}} = \sqrt[4]{m^{3-1}} = \sqrt[4]{m^2}$

Далее, можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения. Представим корень в виде степени с дробным показателем $m^{\frac{2}{4}}$, сократим дробь: $m^{\frac{1}{2}}$. Это равносильно квадратному корню:

$\sqrt[4]{m^2} = \sqrt{m}$

Ответ: $\sqrt{m}$

б)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}}$. Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}} = \sqrt[5]{\frac{x^2}{x^4}}$

Упростим дробь под знаком корня, используя свойство степеней $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$:

$\sqrt[5]{x^{2-4}} = \sqrt[5]{x^{-2}}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, получаем:

$\sqrt[5]{\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}$

в)

Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}}$. Объединим его под один знак корня, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$:

$\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}} = \sqrt[3]{\frac{a^5b}{a^2b^4}}$

Упростим подкоренное выражение, применяя правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[3]{\frac{a^5}{a^2} \cdot \frac{b^1}{b^4}} = \sqrt[3]{a^{5-2} \cdot b^{1-4}} = \sqrt[3]{a^3b^{-3}}$

Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$ и свойством $\sqrt[n]{x^n}=x$ для нечетной степени $n=3$:

$\sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^{-3}} = a \cdot b^{-1} = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

г)

Для упрощения дроби $\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}}$ применим свойство частного корней одинаковой степени:

$\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}} = \sqrt[4]{\frac{m^7n^5}{m^3n}}$

Упростим выражение под корнем, разделив степени с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[4]{\frac{m^7}{m^3} \cdot \frac{n^5}{n^1}} = \sqrt[4]{m^{7-3} \cdot n^{5-1}} = \sqrt[4]{m^4n^4}$

Используем свойство $\sqrt[n]{a^nb^n} = \sqrt[n]{(ab)^n}$:

$\sqrt[4]{m^4n^4} = \sqrt[4]{(mn)^4}$

Так как показатель корня $n=4$ является четным числом, то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$. Следовательно, $\sqrt[4]{(mn)^4} = |mn|$. Однако, область определения исходного выражения требует, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными: $m^7n^5 \ge 0$ и $m^3n \ge 0$. Это возможно только когда $m$ и $n$ имеют одинаковые знаки (или равны нулю), то есть $mn \ge 0$. Поэтому $|mn| = mn$.

$\sqrt[4]{(mn)^4} = mn$

Ответ: $mn$