Номер 3.67, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.67, страница 113.

Вычислите (3.67–3.69):

3.67

а) $(\sqrt{3})^2$;

б) $\sqrt[3]{8^2}$;

в) $\sqrt[3]{125^2}$;

г) $\sqrt[4]{81^3}$;

д) $\sqrt{49^3}$;

е) $\sqrt[3]{27^2}$;

ж) $\sqrt[4]{16^3}$;

з) $\sqrt[5]{32^4}$.

а) По определению квадратного корня, возведение корня в квадрат дает подкоренное выражение. Для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$.
В данном случае: $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Ответ: 3

б) Для вычисления воспользуемся свойством степени корня: $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$. Это позволяет сначала извлечь корень, а затем возвести в степень, что часто упрощает вычисления.
$\sqrt[3]{8^2} = (\sqrt[3]{8})^2$.
Поскольку $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Следовательно, $(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

в) Используем то же свойство: $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$\sqrt[3]{125^2} = (\sqrt[3]{125})^2$.
Находим корень третьей степени из 125: $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.
Теперь возводим результат в квадрат: $5^2 = 25$.
Ответ: 25

г) Применим свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$\sqrt[4]{81^3} = (\sqrt[4]{81})^3$.
Находим корень четвертой степени из 81. Так как $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.
Затем возводим результат в куб: $3^3 = 27$.
Ответ: 27

д) Выражение $\sqrt{49^3}$ представляет собой квадратный корень, то есть корень второй степени. Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$\sqrt{49^3} = (\sqrt{49})^3$.
Так как $\sqrt{49} = 7$, то $(\sqrt{49})^3 = 7^3$.
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
Ответ: 343

е) По свойству $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$, имеем:
$\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2$.
Находим корень: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Возводим в степень: $3^2 = 9$.
Ответ: 9

ж) Применим свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$\sqrt[4]{16^3} = (\sqrt[4]{16})^3$.
Находим корень: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Возводим в степень: $2^3 = 8$.
Ответ: 8

з) Используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$, получаем:
$\sqrt[5]{32^4} = (\sqrt[5]{32})^4$.
Находим корень пятой степени: $\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.
Возводим результат в четвертую степень: $2^4 = 16$.
Ответ: 16