Номер 3.69, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.6. Свойства корней степени n - номер 3.69, страница 113.

Условие.

3.69 а) $ \sqrt[4]{81}; $

б) $ \sqrt[4]{625}; $

в) $ \sqrt[4]{160\,000}; $

г) $ \sqrt[4]{0{,}0625}; $

д) $ \sqrt[6]{729}; $

е) $ \sqrt[6]{64\,000\,000}; $

ж) $ \sqrt[6]{0{,}000729}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы вычислить корень четвертой степени из 81, необходимо найти такое неотрицательное число, четвертая степень которого равна 81. Разложим число 81 на множители, чтобы представить его в виде степени: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$. Таким образом, мы ищем $\sqrt[4]{3^4}$. По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$).
$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы вычислить корень четвертой степени из 625, найдем число, которое при возведении в четвертую степень дает 625. Так как число 625 оканчивается на 5, его корень (если он целый) тоже должен оканчиваться на 5. Проверим число 5: $5^2 = 25$, $5^3 = 125$, $5^4 = 625$. Следовательно, $625 = 5^4$.
$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
Ответ: 5

в) Чтобы вычислить корень из $160 000$, представим подкоренное выражение в виде произведения чисел, из которых легче извлечь корень. Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$160 000 = 16 \cdot 10 000 = 2^4 \cdot 10^4 = (2 \cdot 10)^4 = 20^4$.
$\sqrt[4]{160 000} = \sqrt[4]{20^4} = 20$.
Другой способ:
$\sqrt[4]{160 000} = \sqrt[4]{16 \cdot 10 000} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{10 000} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{10^4} = 2 \cdot 10 = 20$.
Ответ: 20

г) Чтобы вычислить корень из десятичной дроби $0,0625$, представим ее в виде обыкновенной дроби. $0,0625$ имеет 4 знака после запятой, значит, $0,0625 = \frac{625}{10000}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
$\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}$.
Из предыдущих примеров мы знаем, что $\sqrt[4]{625} = 5$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$.
$\frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: 0,5

д) Чтобы вычислить корень шестой степени из 729, нужно найти такое неотрицательное число, шестая степень которого равна 729. Разложим 729 на множители: $729 = 9 \cdot 81 = 9 \cdot 9^2 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
$\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Ответ: 3

е) Чтобы вычислить корень из $64 000 000$, представим подкоренное выражение в виде произведения. $1 000 000$ это $10^6$.
$64 000 000 = 64 \cdot 1 000 000 = 2^6 \cdot 10^6 = (2 \cdot 10)^6 = 20^6$.
$\sqrt[6]{64 000 000} = \sqrt[6]{20^6} = 20$.
Другой способ:
$\sqrt[6]{64 000 000} = \sqrt[6]{64 \cdot 1 000 000} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{1 000 000} = \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{10^6} = 2 \cdot 10 = 20$.
Ответ: 20

ж) Чтобы вычислить корень из десятичной дроби $0,000729$, представим ее в виде обыкновенной дроби. $0,000729$ имеет 6 знаков после запятой, значит, $0,000729 = \frac{729}{1 000 000}$.
$\sqrt[6]{0,000729} = \sqrt[6]{\frac{729}{1 000 000}} = \frac{\sqrt[6]{729}}{\sqrt[6]{1 000 000}}$.
Из предыдущих примеров мы знаем, что $\sqrt[6]{729} = 3$ и $\sqrt[6]{1 000 000} = 10$.
$\frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: 0,3