Номер 3.69, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.69, страница 113.

3.69 а) $ \sqrt[4]{81}; $

б) $ \sqrt[4]{625}; $

в) $ \sqrt[4]{160\,000}; $

г) $ \sqrt[4]{0{,}0625}; $

д) $ \sqrt[6]{729}; $

е) $ \sqrt[6]{64\,000\,000}; $

ж) $ \sqrt[6]{0{,}000729}. $

а) Чтобы вычислить корень четвертой степени из 81, необходимо найти такое неотрицательное число, четвертая степень которого равна 81. Разложим число 81 на множители, чтобы представить его в виде степени: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$. Таким образом, мы ищем $\sqrt[4]{3^4}$. По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$).
$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы вычислить корень четвертой степени из 625, найдем число, которое при возведении в четвертую степень дает 625. Так как число 625 оканчивается на 5, его корень (если он целый) тоже должен оканчиваться на 5. Проверим число 5: $5^2 = 25$, $5^3 = 125$, $5^4 = 625$. Следовательно, $625 = 5^4$.
$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
Ответ: 5

в) Чтобы вычислить корень из $160 000$, представим подкоренное выражение в виде произведения чисел, из которых легче извлечь корень. Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$160 000 = 16 \cdot 10 000 = 2^4 \cdot 10^4 = (2 \cdot 10)^4 = 20^4$.
$\sqrt[4]{160 000} = \sqrt[4]{20^4} = 20$.
Другой способ:
$\sqrt[4]{160 000} = \sqrt[4]{16 \cdot 10 000} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{10 000} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{10^4} = 2 \cdot 10 = 20$.
Ответ: 20

г) Чтобы вычислить корень из десятичной дроби $0,0625$, представим ее в виде обыкновенной дроби. $0,0625$ имеет 4 знака после запятой, значит, $0,0625 = \frac{625}{10000}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
$\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}$.
Из предыдущих примеров мы знаем, что $\sqrt[4]{625} = 5$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$.
$\frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: 0,5

д) Чтобы вычислить корень шестой степени из 729, нужно найти такое неотрицательное число, шестая степень которого равна 729. Разложим 729 на множители: $729 = 9 \cdot 81 = 9 \cdot 9^2 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
$\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Ответ: 3

е) Чтобы вычислить корень из $64 000 000$, представим подкоренное выражение в виде произведения. $1 000 000$ это $10^6$.
$64 000 000 = 64 \cdot 1 000 000 = 2^6 \cdot 10^6 = (2 \cdot 10)^6 = 20^6$.
$\sqrt[6]{64 000 000} = \sqrt[6]{20^6} = 20$.
Другой способ:
$\sqrt[6]{64 000 000} = \sqrt[6]{64 \cdot 1 000 000} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{1 000 000} = \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{10^6} = 2 \cdot 10 = 20$.
Ответ: 20

ж) Чтобы вычислить корень из десятичной дроби $0,000729$, представим ее в виде обыкновенной дроби. $0,000729$ имеет 6 знаков после запятой, значит, $0,000729 = \frac{729}{1 000 000}$.
$\sqrt[6]{0,000729} = \sqrt[6]{\frac{729}{1 000 000}} = \frac{\sqrt[6]{729}}{\sqrt[6]{1 000 000}}$.
Из предыдущих примеров мы знаем, что $\sqrt[6]{729} = 3$ и $\sqrt[6]{1 000 000} = 10$.
$\frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: 0,3