Номер 3.62, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.62, страница 110.

3.62 Вычислите:

а) $\sqrt{(-2)^2}$;

б) $\sqrt{(-5)^4}$;

в) $\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2}$;

г) $\sqrt{(\sqrt{2} - 2)^2}$;

д) $\sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2}$;

е) $\sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{7})^2}$.

а) Чтобы вычислить $\sqrt{(-2)^2}$, воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. В данном случае $a = -2$. Таким образом, $\sqrt{(-2)^2} = |-2| = 2$. Альтернативно, можно сначала выполнить возведение в степень под корнем: $(-2)^2 = 4$, а затем извлечь корень: $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2

б) Чтобы вычислить $\sqrt{(-5)^4}$, можно сначала вычислить значение подкоренного выражения: $(-5)^4 = 625$. Тогда $\sqrt{625} = 25$. Другой способ — использовать свойства степеней и корней: $\sqrt{(-5)^4} = \sqrt{((-5)^2)^2} = |(-5)^2| = |25| = 25$. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, модуль можно опустить.
Ответ: 25

в) Для вычисления выражения $\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$ применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-1$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1|$. Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $\sqrt{2}-1$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\sqrt{2} > 1$, и разность $\sqrt{2}-1$ положительна. Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому $|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$.
Ответ: $\sqrt{2}-1$

г) Для вычисления выражения $\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}$ применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-2$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2} = |\sqrt{2}-2|$. Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $\sqrt{2}-2$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\sqrt{2} < 2$, и разность $\sqrt{2}-2$ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|\sqrt{2}-2| = -(\sqrt{2}-2) = 2-\sqrt{2}$.
Ответ: $2-\sqrt{2}$

д) Для вычисления выражения $\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}$ применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-\sqrt{3}$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{2}-\sqrt{3}|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Так как $2 < 3$, то и $\sqrt{2} < \sqrt{3}$. Следовательно, разность $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|\sqrt{2}-\sqrt{3}| = -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

е) Для вычисления выражения $\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{7})^2}$ применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{5}-\sqrt{7}$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{7})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{7}|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$. Так как $5 < 7$, то и $\sqrt{5} < \sqrt{7}$. Следовательно, разность $\sqrt{5}-\sqrt{7}$ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|\sqrt{5}-\sqrt{7}| = -(\sqrt{5}-\sqrt{7}) = \sqrt{7}-\sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{7}-\sqrt{5}$