Номер 3.64, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.64, страница 110.

3.64 Для каких чисел $k$ справедливо равенство:

а) $\sqrt{(k-1)^2} = 1-k$;

б) $\sqrt{(1+k)^2} = -1-k?$

а) Для решения равенства $\sqrt{(k-1)^2} = 1-k$ воспользуемся определением арифметического квадратного корня из квадрата выражения: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применяя это свойство к левой части уравнения, получаем:

$\sqrt{(k-1)^2} = |k-1|$.

Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде:

$|k-1| = 1-k$.

Заметим, что правая часть $1-k$ является противоположным выражением для $k-1$, то есть $1-k = -(k-1)$.

Получаем равенство вида $|A| = -A$, где $A = k-1$. По определению модуля, такое равенство справедливо только в том случае, если выражение под знаком модуля является неположительным, то есть $A \le 0$.

В нашем случае это означает, что должно выполняться неравенство:

$k-1 \le 0$.

Решая это простое неравенство, находим:

$k \le 1$.

Это и есть условие, при котором исходное равенство справедливо.

Ответ: $k \le 1$, или в виде интервала $k \in (-\infty, 1]$.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt{(1+k)^2} = -1-k$.

Аналогично пункту а), применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ к левой части:

$\sqrt{(1+k)^2} = |1+k|$.

Исходное равенство принимает вид:

$|1+k| = -1-k$.

Вынесем в правой части знак минус за скобки:

$|1+k| = -(1+k)$.

Мы снова получили равенство вида $|A| = -A$, где на этот раз $A = 1+k$. Как и в предыдущем пункте, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда подмодульное выражение неположительно, то есть $A \le 0$.

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$1+k \le 0$.

Решаем его относительно $k$:

$k \le -1$.

Это условие, при котором исходное равенство будет верным.

Ответ: $k \le -1$, или в виде интервала $k \in (-\infty, -1]$.