Номер 3.61, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.61, страница 110.

3.61 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}};$

б) $\frac{1}{\sqrt[5]{2}};$

в) $\frac{3}{\sqrt[3]{-4}};$

г) $\frac{5}{\sqrt[5]{-9}}.$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полным кубом. В знаменателе стоит $ \sqrt[3]{2^1} $. Чтобы получить под корнем $ 2^3 $, нужно домножить на $ \sqrt[3]{2^{3-1}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} $.
Выполним умножение:
$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{4}}{2} $.

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[5]{2}} $, домножим числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало числом в пятой степени. В знаменателе стоит $ \sqrt[5]{2^1} $. Чтобы получить под корнем $ 2^5 $, нужно домножить на $ \sqrt[5]{2^{5-1}} = \sqrt[5]{2^4} = \sqrt[5]{16} $.
Выполним умножение:
$ \frac{1}{\sqrt[5]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{2 \cdot 16}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[5]{16}}{2} $.

в) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{3}{\sqrt[3]{-4}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полным кубом. Ближайший к -4 полный куб - это -8, так как $ (-2)^3 = -8 $. Найдем множитель $x$, такой что $ -4 \cdot x = -8 $. Отсюда $ x = 2 $. Значит, домножать нужно на $ \sqrt[3]{2} $.
Выполним умножение:
$ \frac{3}{\sqrt[3]{-4}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-4 \cdot 2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-8}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{-2} = -\frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $.

г) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5}{\sqrt[5]{-9}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полной пятой степенью. Заметим, что $ -9 = -3^2 $. Чтобы получить под корнем полную пятую степень, например $ (-3)^5 = -243 $, нужно домножить $ -9 $ на $ x $. Найдем $x$: $ -9 \cdot x = -243 $, откуда $ x = \frac{-243}{-9} = 27 $. Значит, домножать нужно на $ \sqrt[5]{27} $.
Выполним умножение:
$ \frac{5}{\sqrt[5]{-9}} = \frac{5 \cdot \sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{-9} \cdot \sqrt[5]{27}} = \frac{5\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{-9 \cdot 27}} = \frac{5\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{-243}} = \frac{5\sqrt[5]{27}}{-3} = -\frac{5\sqrt[5]{27}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5\sqrt[5]{27}}{3} $.