Номер 3.54, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.54, страница 110.

Вычислите (3.54—3.59):

3.54

а) $\sqrt[3]{(-8)^2}$;

б) $\sqrt[4]{10 000}$;

в) $\sqrt[5]{2 \cdot 16}$;

г) $\sqrt[6]{9 \cdot 81}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[3]{(-8)^2}$, сначала возведем в квадрат число под корнем:
$(-8)^2 = 64$.
Теперь выражение принимает вид $\sqrt[3]{64}$.
Кубический корень из 64 — это число, которое при возведении в третью степень дает 64. Таким числом является 4, так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Следовательно, $\sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.
Другой способ — использовать свойство корня $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ для $a<0$ и нечетного $n$.
$\sqrt[3]{(-8)^2} = (\sqrt[3]{-8})^2$.
Кубический корень из -8 равен -2, так как $(-2)^3 = -8$.
Тогда $(\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = 4$.
Ответ: 4

б) Для вычисления $\sqrt[4]{10000}$ нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 10000.
Представим 10000 в виде степени: $10000 = 100 \cdot 100 = 10^2 \cdot 10^2 = 10^4$.
Тогда выражение можно записать как $\sqrt[4]{10^4}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), получаем:
$\sqrt[4]{10^4} = 10$.
Ответ: 10

в) Чтобы вычислить $\sqrt[5]{2 \cdot 16}$, сначала выполним умножение под корнем:
$2 \cdot 16 = 32$.
Выражение принимает вид $\sqrt[5]{32}$.
Нужно найти число, которое при возведении в пятую степень равно 32.
Мы знаем, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Таким образом, $\sqrt[5]{32} = 2$.
Можно также представить множители под корнем в виде степеней двойки:
$\sqrt[5]{2 \cdot 16} = \sqrt[5]{2^1 \cdot 2^4} = \sqrt[5]{2^{1+4}} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
Ответ: 2

г) Для вычисления $\sqrt[6]{9 \cdot 81}$ представим числа под корнем в виде степеней числа 3, так как $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$.
$9 \cdot 81 = 3^2 \cdot 3^4$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$.
Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[6]{3^6}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), получаем:
$\sqrt[6]{3^6} = 3$.
В качестве альтернативы можно было сначала перемножить числа: $9 \cdot 81 = 729$. Тогда нужно было бы найти $\sqrt[6]{729}$. Так как $3^6 = 729$, результат тот же.
Ответ: 3