Номер 3.47, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.4. Корни четной и нечетной степеней - номер 3.47, страница 106.

Условие.

3.47* Покажите с помощью графика функции $y = x^4$, что существуют следующие корни, и укажите их значение с точностью до единиц:

а) $\sqrt[4]{3};$

б) $-\sqrt[4]{3};$

в) $\sqrt[4]{2};$

г) $-\sqrt[4]{2};$

д) $\sqrt[4]{0};$

е) $\sqrt[4]{0.5};$

ж) $-\sqrt[4]{0.5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы с помощью графика функции $y = x^4$ показать существование корней и определить их приближенное значение, необходимо понимать, что нахождение корня четвертой степени из числа $a$, то есть $x = \sqrt[4]{a}$, равносильно решению уравнения $x^4 = a$. Графически это соответствует нахождению абсциссы (координаты $x$) точки пересечения графика функции $y = x^4$ и горизонтальной прямой $y = a$.

График функции $y = x^4$ симметричен относительно оси ординат (оси $y$), так как функция является четной ($(-x)^4 = x^4$). Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$), поэтому график целиком лежит в верхней полуплоскости. Из этого следует, что корень четвертой степени в действительных числах существует только для неотрицательных чисел ($a \ge 0$). Если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках с противоположными абсциссами: $\sqrt[4]{a}$ и $-\sqrt[4]{a}$. Если $a=0$, то прямая $y=0$ касается графика в одной точке $x=0$.

а) $\sqrt[4]{3}$
Этот корень является положительным решением уравнения $x^4 = 3$. Чтобы его найти, рассмотрим пересечение графика $y=x^4$ и прямой $y=3$. Поскольку $3 > 0$, корень существует. Для определения его значения с точностью до единиц, найдем, между какими целыми числами он расположен. Проверим значения $y$ для целых $x$: При $x=1$, $y = 1^4 = 1$. При $x=2$, $y = 2^4 = 16$. Так как $1 < 3 < 16$, то абсцисса точки пересечения находится между 1 и 2, то есть $1 < \sqrt[4]{3} < 2$. Чтобы округлить до ближайшего целого, сравним $\sqrt[4]{3}$ со значением 1,5. Для этого возведем 1,5 в четвертую степень: $1,5^4 = 5,0625$. Поскольку $3 < 5,0625$, то $\sqrt[4]{3} < 1,5$. Значит, корень ближе к 1, чем к 2.
Ответ: 1

б) $-\sqrt[4]{3}$
Этот корень является отрицательным решением уравнения $x^4 = 3$. В силу симметрии графика $y=x^4$ относительно оси $y$, прямая $y=3$ пересекает график и при отрицательном значении $x$. Из пункта а) мы знаем, что $1 < \sqrt[4]{3} < 2$, следовательно, $-2 < -\sqrt[4]{3} < -1$. Также из пункта а) известно, что $\sqrt[4]{3} < 1,5$, откуда следует, что $-\sqrt[4]{3} > -1,5$. Значение корня находится в интервале $(-1,5; -1)$, поэтому оно ближе к -1.
Ответ: -1

в) $\sqrt[4]{2}$
Это положительное решение уравнения $x^4 = 2$. Рассматриваем пересечение $y=x^4$ и $y=2$. Корень существует, так как $2>0$. При $x=1$, $y = 1^4 = 1$. При $x=2$, $y = 2^4 = 16$. Так как $1 < 2 < 16$, то $1 < \sqrt[4]{2} < 2$. Сравним с 1,5: $1,5^4 = 5,0625$. Поскольку $2 < 5,0625$, то $\sqrt[4]{2} < 1,5$. Значит, корень ближе к 1.
Ответ: 1

г) $-\sqrt[4]{2}$
Это отрицательное решение уравнения $x^4 = 2$. Из симметрии графика корень существует. Из пункта в) $1 < \sqrt[4]{2} < 2$, значит $-2 < -\sqrt[4]{2} < -1$. Так как $\sqrt[4]{2} < 1,5$, то $-\sqrt[4]{2} > -1,5$. Корень находится в интервале $(-1,5; -1)$ и ближе к -1.
Ответ: -1

д) $\sqrt[4]{0}$
Это решение уравнения $x^4 = 0$. Прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает график $y=x^4$ в одной точке, где $x=0$. Корень существует и его точное значение равно 0.
Ответ: 0

е) $\sqrt[4]{0,5}$
Это положительное решение уравнения $x^4 = 0,5$. Рассматриваем пересечение $y=x^4$ и $y=0,5$. Корень существует, так как $0,5 > 0$. При $x=0$, $y=0$. При $x=1$, $y=1$. Так как $0 < 0,5 < 1$, то $0 < \sqrt[4]{0,5} < 1$. Чтобы округлить до ближайшего целого, сравним с 0,5. Возведем 0,5 в четвертую степень: $0,5^4 = 0,0625$. Поскольку $0,5 > 0,0625$, то $\sqrt[4]{0,5} > \sqrt[4]{0,0625} = 0,5$. Значение корня находится в интервале $(0,5; 1)$ и ближе к 1.
Ответ: 1

ж) $-\sqrt[4]{0,5}$
Это отрицательное решение уравнения $x^4 = 0,5$. Корень существует из-за симметрии графика. Из пункта е) $0 < \sqrt[4]{0,5} < 1$, следовательно $-1 < -\sqrt[4]{0,5} < 0$. Так как $\sqrt[4]{0,5} > 0,5$, то $-\sqrt[4]{0,5} < -0,5$. Корень находится в интервале $(-1; -0,5)$ и ближе к -1.
Ответ: -1