Номер 3.46, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.4. Корни четной и нечетной степеней. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.46, страница 106.

3.46 Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt[8]{35-6^2}$;

б) $\sqrt[6]{27-5^2}$;

в) $\sqrt{(-2)^3}$;

г) $\sqrt[4]{(-8)^6}$?

а) Чтобы определить, имеет ли смысл выражение $\sqrt[8]{35 - 6^2}$, нужно проверить знак подкоренного выражения. Индекс корня $n=8$ является четным числом. Корень четной степени определен только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Вычислим значение подкоренного выражения: $35 - 6^2 = 35 - 36 = -1$.

Так как подкоренное выражение равно $-1$, то есть является отрицательным числом, а степень корня четная, то данное выражение не имеет смысла в множестве действительных чисел.

Ответ: не имеет смысла.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{27 - 5^2}$. Индекс корня $n=6$ является четным числом, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Вычислим значение подкоренного выражения: $27 - 5^2 = 27 - 25 = 2$.

Поскольку подкоренное выражение равно $2$, то есть является положительным числом, корень четной степени из него извлечь можно. Следовательно, данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-2)^3}$. Если у корня не указан индекс, то по умолчанию это квадратный корень, индекс которого $n=2$ (четное число). Для корня четной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Вычислим значение подкоренного выражения: $(-2)^3 = -8$.

Так как подкоренное выражение равно $-8$, то есть является отрицательным числом, а степень корня четная, то данное выражение не имеет смысла в множестве действительных чисел.

Ответ: не имеет смысла.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{(-8)^6}$. Индекс корня $n=4$ является четным числом, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Вычислим значение подкоренного выражения: $(-8)^6$. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным. $(-8)^6 = 8^6 = 262144$.

Поскольку подкоренное выражение равно $262144$, то есть является положительным числом, корень четной степени из него извлечь можно. Следовательно, данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.