Номер 3.44, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.4. Корни четной и нечетной степеней. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.44, страница 106.

3.44 Покажите с помощью графика функции $y = x^4$, что:

a) существуют два действительных корня четвёртой степени из числа 3;

б) существует единственный действительный корень четвёртой степени из числа 0;

в) не существует действительных корней четвёртой степени из числа $-1$.

Для решения задачи воспользуемся графическим методом. Действительные корни четвертой степени из числа $a$ — это действительные решения уравнения $x^4 = a$. Их количество равно количеству точек пересечения графика функции $y = x^4$ и горизонтальной прямой $y = a$.

График функции $y = x^4$ — это парабола четвертой степени, симметричная относительно оси ординат (оси $Oy$), проходящая через начало координат. Все значения функции неотрицательны, то есть $y \ge 0$ для любого $x$.

а) существуют два действительных корня четвёртой степени из числа 3;
Чтобы найти действительные корни четвертой степени из числа 3, необходимо решить уравнение $x^4 = 3$. Графически это означает найти точки пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = 3$. Прямая $y = 3$ является горизонтальной и проходит выше оси абсцисс. Так как ветви графика $y = x^4$ уходят в бесконечность в I и II координатных четвертях, эта прямая пересечет график в двух точках. Абсциссы этих точек будут симметричны относительно нуля: $x_1 = \sqrt[4]{3}$ и $x_2 = -\sqrt[4]{3}$. Таким образом, существует два действительных корня.
Ответ: Прямая $y=3$ пересекает график функции $y=x^4$ в двух точках, следовательно, существуют два действительных корня четвертой степени из числа 3.

б) существует единственный действительный корень четвёртой степени из числа 0;
Чтобы найти действительные корни четвертой степени из числа 0, необходимо решить уравнение $x^4 = 0$. Графически это означает найти точки пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = 0$ (оси абсцисс). График функции $y = x^4$ имеет с осью абсцисс только одну общую точку — это начало координат $(0, 0)$. Следовательно, уравнение имеет единственное решение $x = 0$.
Ответ: Прямая $y=0$ имеет с графиком функции $y=x^4$ одну точку касания, следовательно, существует единственный действительный корень четвертой степени из числа 0.

в) не существует действительных корней четвёртой степени из числа –1.
Чтобы найти действительные корни четвертой степени из числа –1, необходимо решить уравнение $x^4 = -1$. Графически это означает найти точки пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = -1$. Для любого действительного числа $x$ его четвертая степень $x^4$ является неотрицательной ($x^4 \ge 0$). Это означает, что весь график функции $y = x^4$ лежит на оси абсцисс и выше неё. Прямая $y = -1$ проходит ниже оси абсцисс, поэтому она не имеет общих точек с графиком функции $y = x^4$. Следовательно, действительных корней у уравнения $x^4 = -1$ нет.
Ответ: Прямая $y=-1$ не пересекает график функции $y=x^4$, следовательно, не существует действительных корней четвертой степени из числа –1.