Номер 3.50, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.50, страница 109.

3.50° Если $a^n = b^n$, то всегда ли $a = b$ ($n \in N$, $n \ge 2$)?

Нет, утверждение о том, что из равенства $a^n = b^n$ всегда следует $a = b$ (при $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$), не является верным для произвольных действительных чисел $a$ и $b$. Правильность этого утверждения зависит от четности показателя степени $n$.

Если $n$ — четное число. Когда $n$ является четным числом ($n=2, 4, 6, \dots$), функция $f(x) = x^n$ — четная. Это означает, что $f(x) = f(-x)$ для любого $x$. Следовательно, $x^n = (-x)^n$. Если мы возьмем любое ненулевое число $a$ и положим $b = -a$, то $a \neq b$, но при этом равенство $a^n = b^n$ будет выполняться. Например, пусть $n=4$, $a=2$, $b=-2$. Тогда $a^4 = 2^4 = 16$ и $b^4 = (-2)^4 = 16$. Таким образом, $a^n = b^n$, но $a \neq b$. Это является контрпримером. В общем случае, для четного $n$, из $a^n=b^n$ следует, что $|a|=|b|$, то есть $a = \pm b$.

Если $n$ — нечетное число. Когда $n$ является нечетным числом ($n=3, 5, 7, \dots$), функция $f(x) = x^n$ является строго монотонно возрастающей на всей области определения. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Поэтому, если $a^n = b^n$ для нечетного $n$, то это возможно только тогда, когда $a=b$.

Поскольку в вопросе стоит слово «всегда ли», а мы показали, что для любого четного $n \ge 2$ утверждение не выполняется, то ответ на вопрос — отрицательный.

Ответ: Нет, не всегда. Утверждение верно, только если $n$ — нечетное число. Если $n$ — четное, то из $a^n=b^n$ следует лишь $|a|=|b|$. Например, $(-3)^2 = 3^2$, но $-3 \neq 3$.