Страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.48° a) Что называют арифметическим корнем степени $n$ ($n \geq 2$) из числа $a$?

б) Для каких чисел $a \in \mathbf{R}$ введено понятие арифметического корня степени $n$ ($n \geq 2$) из данного числа $a$?

в) Сколько существует арифметических корней степени $n$ ($n \geq 2$) из данного числа?

а) Арифметическим корнем степени $n$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Если обозначить арифметический корень степени $n$ из числа $a$ как $x = \sqrt[n]{a}$, то по определению должны выполняться два условия: 1) $x \ge 0$ (корень является неотрицательным числом) и 2) $x^n = a$ (при возведении корня в степень $n$ получается подкоренное число $a$).

Например, арифметическим корнем 3-й степени из числа 8 является число 2, так как $2 \ge 0$ и $2^3 = 8$. То есть, $\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: Арифметическим корнем степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

б) Понятие арифметического корня степени $n$ (где $n \ge 2$) введено для неотрицательных действительных чисел $a$. Это следует непосредственно из определения, данного в пункте а), где требуется, чтобы число $a$ было неотрицательным ($a \ge 0$).

Рассмотрим два случая:

1. Степень корня $n$ — четное число. В этом случае подкоренное выражение $a$ не может быть отрицательным, так как любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. Например, не существует такого действительного числа $x$, что $x^2 = -4$.

2. Степень корня $n$ — нечетное число. В этом случае корень нечетной степени из отрицательного числа существует, но он будет отрицательным (например, $\sqrt[3]{-27} = -3$). Однако по определению арифметический корень должен быть неотрицательным, поэтому для отрицательных $a$ он не определен.

Таким образом, для любого натурального $n \ge 2$ понятие арифметического корня введено только для чисел $a \ge 0$.

Ответ: Для чисел $a \in \mathbb{R}$ таких, что $a \ge 0$.

в) Из любого неотрицательного числа $a$ существует только один арифметический корень степени $n \ge 2$.

Это можно доказать, рассмотрев функцию $y = x^n$ при условии $x \ge 0$ и $n \ge 2$. Эта функция является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$. Это означает, что каждому значению $y \ge 0$ (в нашем случае $y=a$) соответствует ровно одно значение $x \ge 0$. Следовательно, уравнение $x^n = a$ при $a \ge 0$ имеет единственный неотрицательный корень.

Важно не путать с алгебраическими корнями. Например, уравнение $x^2 = 9$ имеет два действительных корня: $x=3$ и $x=-3$. Однако, согласно определению, арифметическим корнем является только неотрицательное значение, то есть $\sqrt{9} = 3$. Таким образом, арифметический корень всегда один.

Ответ: Существует только один арифметический корень степени $n$ из данного числа (при условии, что число неотрицательное).

3.49° Верны ли для любого неотрицательного числа a и любого натурального числа n ($n \geq 2$) равенства $\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a$?

Да, данные равенства верны для любого неотрицательного числа $a$ и любого натурального числа $n \ge 2$. Чтобы убедиться в этом, проанализируем каждое равенство из составного утверждения $ \sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a $ в отдельности.

Проверка равенства $(\sqrt[n]{a})^n = a$

Это равенство следует непосредственно из определения арифметического корня n-й степени. По определению, арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа $a$ (обозначается $\sqrt[n]{a}$) — это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна $a$. Таким образом, по самому определению, возведение $\sqrt[n]{a}$ в степень $n$ дает в результате $a$. Условие $a \ge 0$ гарантирует, что корень $\sqrt[n]{a}$ является действительным неотрицательным числом.

Проверка равенства $\sqrt[n]{a^n} = a$

Это равенство также проверяется с помощью определения арифметического корня. Мы должны показать, что правая часть равенства, то есть $a$, удовлетворяет двум условиям: во-первых, она должна быть неотрицательной, и во-вторых, ее n-я степень должна быть равна подкоренному выражению $a^n$.
Первое условие, $a \ge 0$, прямо дано в условии задачи.
Второе условие, $a^n = a^n$, является тождеством и всегда истинно.
Поскольку оба условия выполнены, равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$ является верным для любого $a \ge 0$ и $n \ge 2$. Важно отметить, что условие неотрицательности $a$ здесь является ключевым, так как для отрицательного $a$ и четного $n$ равенство было бы неверным (например, $\sqrt[2]{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, что не равно $-5$).

Поскольку оба равенства верны для любого неотрицательного $a$ и натурального $n \ge 2$, то и все составное равенство верно.

Ответ: Да, данные равенства верны для любого неотрицательного числа $a$ и любого натурального числа $n \ge 2$.

3.50° Если $a^n = b^n$, то всегда ли $a = b$ ($n \in N$, $n \ge 2$)?

Нет, утверждение о том, что из равенства $a^n = b^n$ всегда следует $a = b$ (при $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$), не является верным для произвольных действительных чисел $a$ и $b$. Правильность этого утверждения зависит от четности показателя степени $n$.

Если $n$ — четное число. Когда $n$ является четным числом ($n=2, 4, 6, \dots$), функция $f(x) = x^n$ — четная. Это означает, что $f(x) = f(-x)$ для любого $x$. Следовательно, $x^n = (-x)^n$. Если мы возьмем любое ненулевое число $a$ и положим $b = -a$, то $a \neq b$, но при этом равенство $a^n = b^n$ будет выполняться. Например, пусть $n=4$, $a=2$, $b=-2$. Тогда $a^4 = 2^4 = 16$ и $b^4 = (-2)^4 = 16$. Таким образом, $a^n = b^n$, но $a \neq b$. Это является контрпримером. В общем случае, для четного $n$, из $a^n=b^n$ следует, что $|a|=|b|$, то есть $a = \pm b$.

Если $n$ — нечетное число. Когда $n$ является нечетным числом ($n=3, 5, 7, \dots$), функция $f(x) = x^n$ является строго монотонно возрастающей на всей области определения. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Поэтому, если $a^n = b^n$ для нечетного $n$, то это возможно только тогда, когда $a=b$.

Поскольку в вопросе стоит слово «всегда ли», а мы показали, что для любого четного $n \ge 2$ утверждение не выполняется, то ответ на вопрос — отрицательный.

Ответ: Нет, не всегда. Утверждение верно, только если $n$ — нечетное число. Если $n$ — четное, то из $a^n=b^n$ следует лишь $|a|=|b|$. Например, $(-3)^2 = 3^2$, но $-3 \neq 3$.

3.51 Чему равен корень степени $n (n \ge 2)$ из:

а) произведения неотрицательных чисел;

б) частного положительных чисел?

а) Корень степени $n$ (где $n \ge 2$) из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней степени $n$ из этих чисел. Это является одним из основных свойств арифметического корня.
Если $a$ и $b$ — неотрицательные числа ($a \ge 0, b \ge 0$), то данное свойство выражается формулой:
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
Это правило распространяется на произведение любого количества неотрицательных сомножителей.
Ответ: произведению корней степени $n$ из этих чисел.

б) Корень степени $n$ (где $n \ge 2$) из частного двух положительных чисел равен частному от деления корня степени $n$ из делимого на корень степени $n$ из делителя.
Если $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$), то данное свойство выражается формулой:
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
(Это свойство также верно, если делимое $a$ — неотрицательное, а делитель $b$ — положительный).
Ответ: частному от деления корня степени $n$ из делимого на корень степени $n$ из делителя.

3.52 Чему равен $\sqrt[2m+1]{-a}$, если $a \in \mathbb{R}$?

Для того чтобы найти, чему равен $\sqrt[2m+1]{-a}$, необходимо проанализировать свойства корней нечетной степени, так как показатель корня $2m+1$ является нечетным числом для любого целого $m$.

По определению, корень нечетной степени $n$ из числа $b$, обозначаемый как $\sqrt[n]{b}$, — это такое число $c$, что $c^n = b$. Это определение справедливо для любых действительных чисел $b$.

Рассмотрим ключевое свойство корней нечетной степени: $\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$ для любого $x \in \mathbb{R}$ и нечетного натурального $n \ge 1$. Докажем это свойство. Пусть $y = -\sqrt[n]{x}$. Возведем обе части равенства в нечетную степень $n$: $y^n = (-\sqrt[n]{x})^n$. Поскольку степень $n$ нечетная, мы можем вынести минус за скобки: $y^n = -(\sqrt[n]{x})^n$. Так как $(\sqrt[n]{x})^n = x$, получаем: $y^n = -x$. По определению корня, если $y^n = -x$, то $y = \sqrt[n]{-x}$. Таким образом, мы показали, что $-\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{-x}$.

В нашем выражении $\sqrt[2m+1]{-a}$ показатель корня $n = 2m+1$ является нечетным. Условие $a \in \mathbb{R}$ означает, что $a$ — любое действительное число. Применим доказанное выше свойство, подставив $n=2m+1$ и $x=a$: $$ \sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a} $$ Это равенство верно для всех действительных значений $a$.

Ответ: $-\sqrt[2m+1]{a}$

3.53 Является ли записью арифметического корня выражение:

а) $ \sqrt[3]{-2}$;

б) $ -\sqrt[4]{3}$;

в) $ \sqrt[3]{(-2)^2}$;

г) $ \sqrt[4]{(-3)^3}$?

Арифметическим корнем $n$-ой степени (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, $n$-ая степень которого равна $a$. Запись арифметического корня имеет вид $\sqrt[n]{a}$.

Таким образом, для того чтобы выражение $\sqrt[n]{a}$ было записью арифметического корня, должны выполняться два ключевых условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a \ge 0$.
2. Показатель корня $n$ должен быть натуральным числом, не меньшим 2: $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.

Кроме того, само значение арифметического корня по определению всегда неотрицательно. Проверим каждое из предложенных выражений на соответствие этому определению.

а) В выражении $\sqrt[3]{-2}$ подкоренное выражение $a = -2$ является отрицательным. Это противоречит определению арифметического корня, которое требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным ($a \ge 0$). Поэтому данное выражение не является записью арифметического корня, хотя корень нечетной степени из отрицательного числа существует в поле вещественных чисел (и он отрицателен).
Ответ: нет.

б) Рассмотрим выражение $-\sqrt[4]{3}$. Часть выражения, $\sqrt[4]{3}$, является арифметическим корнем, так как показатель $n=4 \ge 2$ и подкоренное выражение $a=3 \ge 0$. Однако все выражение $-\sqrt[4]{3}$ представляет собой отрицательное число (число, противоположное положительному $\sqrt[4]{3}$). По определению, арифметический корень — это неотрицательное число. Следовательно, выражение $-\sqrt[4]{3}$ не является записью арифметического корня.
Ответ: нет.

в) В выражении $\sqrt[3]{(-2)^2}$ сначала вычислим подкоренное выражение: $a = (-2)^2 = 4$. Выражение принимает вид $\sqrt[3]{4}$. В этом случае показатель корня $n = 3 \ge 2$, а подкоренное выражение $a = 4 \ge 0$. Оба условия определения арифметического корня выполняются.
Ответ: да.

г) В выражении $\sqrt[4]{(-3)^3}$ вычислим подкоренное выражение: $a = (-3)^3 = -27$. Выражение принимает вид $\sqrt[4]{-27}$. Здесь подкоренное выражение $a = -27$ является отрицательным. Это нарушает условие $a \ge 0$ из определения арифметического корня. (Более того, корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел).
Ответ: нет.