Страница 105 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.34° а) Сколько существует корней нечётной степени из любого действительного числа?

б) Может ли корень нечётной степени из положительного числа быть числом отрицательным?

в) Будет ли корень нечётной степени из отрицательного числа числом отрицательным?

г) Чему равен корень нечётной степени из нуля?

a) Корень нечётной степени $n$ из действительного числа $a$ — это такое действительное число $x$, которое удовлетворяет уравнению $x^n = a$, где $n$ — нечётное натуральное число ($n=1, 3, 5, \dots$).

Рассмотрим функцию $y=x^n$ для нечётного $n$. Эта функция определена для всех действительных чисел. Она является непрерывной и строго возрастающей на всей числовой оси, так как её производная $y' = nx^{n-1}$ неотрицательна (поскольку $n$ нечётное, $n-1$ — чётное, значит $x^{n-1} \ge 0$). Область значений этой функции — все действительные числа, то есть от $-\infty$ до $+\infty$.

Это означает, что для любого действительного значения $a$ горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $y=x^n$ ровно в одной точке. Следовательно, уравнение $x^n=a$ всегда имеет единственный действительный корень.

Таким образом, из любого действительного числа существует ровно один действительный корень нечётной степени.

Ответ: один.

б) Пусть $a$ — положительное число ($a > 0$), и пусть $n$ — нечётное натуральное число. Корень нечётной степени из $a$, обозначенный как $x = \sqrt[n]{a}$, по определению является решением уравнения $x^n = a$.

Предположим, что этот корень $x$ является отрицательным числом, то есть $x < 0$.

Поскольку $n$ — нечётное число, возведение отрицательного числа в нечётную степень всегда даёт в результате отрицательное число. Например, $(-2)^3 = -8$. Таким образом, если $x < 0$, то и $x^n < 0$.

Из этого следует, что $a = x^n$ также должно быть отрицательным числом ($a < 0$). Однако это противоречит исходному условию, что $a$ — положительное число ($a > 0$).

Следовательно, наше предположение неверно. Корень нечётной степени из положительного числа не может быть отрицательным числом. Он всегда будет положительным.

Ответ: нет, не может.

в) Пусть $a$ — отрицательное число ($a < 0$), и пусть $n$ — нечётное натуральное число. Корень нечётной степени из $a$ есть число $x = \sqrt[n]{a}$, которое является решением уравнения $x^n = a$.

Нам нужно определить знак числа $x$. Рассмотрим все возможные варианты для знака $x$.

Если предположить, что $x$ — положительное число ($x > 0$), то при возведении в любую натуральную степень $n$ результат также будет положительным: $x^n > 0$. Тогда и $a$ должно быть положительным ($a > 0$), что противоречит условию $a < 0$.

Если предположить, что $x = 0$, то $x^n = 0^n = 0$. Тогда и $a$ должно быть равно нулю ($a = 0$), что также противоречит условию $a < 0$.

Если предположить, что $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то при возведении в нечётную степень $n$ результат будет отрицательным: $x^n < 0$. Тогда и $a$ будет отрицательным ($a < 0$), что полностью соответствует условию задачи.

Из пункта (а) мы знаем, что действительный корень нечётной степени всегда существует и он единственный. Поскольку варианты с положительным и нулевым корнем приводят к противоречию, единственно возможным остаётся вариант с отрицательным корнем. Таким образом, корень нечётной степени из отрицательного числа всегда является отрицательным числом.

Ответ: да, будет.

г) Корень нечётной степени $n$ из нуля — это число $x = \sqrt[n]{0}$. По определению, это число $x$ должно удовлетворять уравнению $x^n = 0$, где $n$ — нечётное натуральное число.

Единственным действительным числом, которое при возведении в любую положительную целую степень даёт ноль, является само число ноль.

То есть, уравнение $x^n=0$ имеет единственный корень $x=0$.

Следовательно, корень любой нечётной (и, на самом деле, любой натуральной) степени из нуля равен нулю.

Ответ: нулю.

3.35 Как обозначают корень нечётной степени из числа $b$?

3.35 Как обозначают корень нечётной степени из числа b?

Корень нечётной степени $n$ из числа $b$ — это такое число, которое при возведении в степень $n$ даёт в результате число $b$.

Пусть $n$ — это нечётное натуральное число, большее единицы (например, $n = 3, 5, 7, \dots$). В отличие от корня чётной степени, корень нечётной степени существует для любого действительного числа $b$ (положительного, отрицательного или равного нулю) и притом является единственным.

Для обозначения корня нечётной степени используется математический символ радикала:

$\sqrt[n]{b}$

В этом выражении:

• $n$ – это показатель корня. По условию, это нечётное число.

• $b$ – это подкоренное выражение. Оно может быть любым действительным числом.

Например, если степень корня равна 3, то это кубический корень и он обозначается как $\sqrt[3]{b}$. Если степень равна 5, то обозначение будет $\sqrt[5]{b}$, и так далее.

Важной особенностью является то, что знак корня нечётной степени совпадает со знаком подкоренного выражения. Рассмотрим на примерах:

• Если $b > 0$, то $\sqrt[n]{b} > 0$. Например, $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3=64$.

• Если $b < 0$, то $\sqrt[n]{b} < 0$. Например, $\sqrt[5]{-32} = -2$, так как $(-2)^5=-32$.

• Если $b = 0$, то $\sqrt[n]{b} = 0$. Например, $\sqrt[7]{0} = 0$, так как $0^7=0$.

Ответ: Корень нечётной степени $n$ из числа $b$ обозначают символом $\sqrt[n]{b}$, где $n$ — нечётное натуральное число ($n \ge 3$), а $b$ — любое действительное число.

3.36° Для любого ли действительного числа существует корень чётной степени?

Нет, не для любого действительного числа существует корень чётной степени в множестве действительных чисел.

Рассмотрим определение корня чётной степени. Корень чётной степени $n$ (где $n=2k$, $k \in \mathbb{N}$) из действительного числа $a$ — это такое действительное число $x$, что выполняется равенство $x^n = a$.

Давайте проанализируем, какие значения может принимать левая часть этого равенства, $x^n$, где $x$ — любое действительное число, а $n$ — чётное число.

1. Если $x$ — положительное число ($x > 0$), то и $x$ в любой чётной степени будет положительным числом. Например, $3^4 = 81 > 0$.

2. Если $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то при возведении в чётную степень результат также будет положительным. Например, $(-3)^4 = (-1)^4 \cdot 3^4 = 1 \cdot 81 = 81 > 0$.

3. Если $x = 0$, то $x^n = 0^n = 0$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ и любого чётного показателя степени $n$, результат $x^n$ всегда будет неотрицательным числом, то есть $x^n \geq 0$.

Из этого следует, что равенство $x^n = a$ может быть верным только в том случае, если $a$ — неотрицательное число ($a \geq 0$).

Если же мы возьмём любое отрицательное действительное число, например $a = -16$, то для него не будет существовать корня чётной степени (например, четвёртой степени) в множестве действительных чисел. Уравнение $x^4 = -16$ не имеет действительных решений, так как любое действительное число, возведённое в четвёртую степень, даст неотрицательный результат.

Поскольку мы нашли контрпример (любое отрицательное число), мы можем сделать вывод, что утверждение "для любого действительного числа существует корень чётной степени" является ложным.

Ответ: Нет, корень чётной степени в множестве действительных чисел существует только для неотрицательных чисел ($a \geq 0$). Для любого отрицательного действительного числа корень чётной степени не существует.

$3.37^\circ$

a) Существует ли корень чётной степени: из положительного числа; из нуля; из отрицательного числа?

б) Чему равен корень чётной степени из нуля?

а)

По определению, корень $n$-й степени из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^n = a$. Если степень $n$ является чётным числом (обозначим её как $2k$, где $k$ — натуральное число), то мы ищем число $x$, для которого выполняется равенство $x^{2k} = a$.

Из положительного числа ($a>0$): да, существует. Уравнение $x^{2k} = a$ при $a>0$ всегда имеет два действительных корня: положительный и отрицательный. Это следует из того, что любое ненулевое действительное число, возведенное в чётную степень, даёт положительный результат. Например, для уравнения $x^4 = 16$ корнями являются числа $2$ и $-2$.

Из нуля ($a=0$): да, существует. Уравнение $x^{2k} = 0$ имеет единственный корень $x=0$, так как только ноль в любой положительной степени равен нулю.

Из отрицательного числа ($a<0$): нет, в множестве действительных чисел не существует. Любое действительное число $x$ при возведении в чётную степень $2k$ даёт неотрицательный результат ($x^{2k} \ge 0$). Поскольку $a$ — число отрицательное, уравнение $x^{2k} = a$ не имеет действительных решений.

Ответ: корень чётной степени из положительного числа существует; корень чётной степени из нуля существует; корень чётной степени из отрицательного числа (в множестве действительных чисел) не существует.

б)

Корень чётной степени из нуля, согласно определению, — это такое неотрицательное число $x$, которое при возведении в эту чётную степень (обозначим её $2k$, где $k \in \mathbb{N}$) даёт в результате ноль. То есть, мы ищем решение уравнения $x^{2k} = 0$ при условии $x \ge 0$. Единственным действительным числом, которое удовлетворяет этому уравнению, является $x=0$. Это значение удовлетворяет и условию $x \ge 0$. Следовательно, корень любой чётной степени из нуля равен нулю: $\sqrt[2k]{0} = 0$.

Ответ: Корень чётной степени из нуля равен нулю.

3.38 a) Как обозначают положительный корень чётной степени из положительного числа? Приведите пример.

б) Как обозначают отрицательный корень чётной степени из положительного числа? Приведите пример.

а) Положительный корень чётной степени из положительного числа называется арифметическим корнем. Для его обозначения используется знак радикала $\sqrt{\phantom{a}}$. В общем виде, если дано положительное число $a$ и чётное натуральное число $n$ ($n=2k, k \in \mathbb{N}$), то положительный корень $n$-й степени из $a$ обозначается как $\sqrt[n]{a}$. Это такое положительное число $b$, которое при возведении в степень $n$ даёт в результате число $a$. То есть, $\sqrt[n]{a} = b$ при условиях $b > 0$ и $b^n = a$.

Пример: Положительный корень четвертой степени (4 — чётное число) из положительного числа 81 обозначается как $\sqrt[4]{81}$. Значение этого выражения равно 3, поскольку $3 > 0$ и $3^4 = 81$.

Ответ: Положительный корень чётной степени $n$ из положительного числа $a$ обозначают как $\sqrt[n]{a}$. Например, $\sqrt[4]{16} = 2$.

б) Уравнение вида $x^n=a$, где $n$ — чётное натуральное число и $a$ — положительное число, имеет два действительных корня: положительный ($\sqrt[n]{a}$) и отрицательный. Отрицательный корень является числом, противоположным положительному (арифметическому) корню. Для его обозначения используется знак радикала со знаком "минус" перед ним.

В общем виде, отрицательный корень $n$-й степени из положительного числа $a$ обозначается как $-\sqrt[n]{a}$. Это такое отрицательное число $c$, что $c^n=a$.

Пример: Отрицательный корень четвертой степени из положительного числа 81 обозначается как $-\sqrt[4]{81}$. Значение этого выражения равно -3, поскольку $-3 < 0$ и $(-3)^4 = 81$.

Ответ: Отрицательный корень чётной степени $n$ из положительного числа $a$ обозначают как $-\sqrt[n]{a}$. Например, $-\sqrt[4]{16} = -2$.

3.39° Почему не существует корней чётной степени из отрицательного числа?

Вопрос о существовании корней чётной степени из отрицательных чисел напрямую связан с фундаментальными свойствами операции возведения в степень в множестве действительных (вещественных) чисел.

По определению, корень $n$-ой степени из числа $a$ — это такое число $x$, которое при возведении в степень $n$ даёт число $a$. Это записывается как $x = \sqrt[n]{a}$, что эквивалентно равенству $x^n = a$.

Рассмотрим случай, когда степень корня $n$ является чётным числом. Пусть $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Мы хотим найти значение выражения $\sqrt[2k]{a}$, где $a$ — отрицательное число ($a < 0$).

Давайте проанализируем, каким может быть результат возведения любого действительного числа $x$ в чётную степень $2k$:

• Если число $x$ положительное ($x > 0$), то его чётная степень $x^{2k}$ также будет положительной. Например, $2^4 = 16$.
• Если число $x$ отрицательное ($x < 0$), то при возведении в чётную степень "минус" исчезает. Например, $(-2)^4 = (-1)^4 \cdot 2^4 = 1 \cdot 16 = 16$. В общем виде, $x^{2k} = |x|^{2k} > 0$.
• Если $x = 0$, то $x^{2k} = 0$.

Таким образом, мы приходим к важнейшему выводу: любое действительное число, возведённое в чётную степень, даёт в результате неотрицательное число (то есть число, которое больше или равно нулю). Математически это можно записать так: для любого действительного числа $x$ и натурального $k$, $x^{2k} \ge 0$.

Теперь вернемся к нашей задаче: найти $x = \sqrt[2k]{a}$, где $a < 0$. По определению, это означало бы, что должно выполняться равенство $x^{2k} = a$. Но здесь возникает логическое противоречие:

• Левая часть равенства, $x^{2k}$, не может быть отрицательной ($x^{2k} \ge 0$).
• Правая часть равенства, $a$, по условию является отрицательной ($a < 0$).

Равенство между неотрицательным и отрицательным числом невозможно. Следовательно, не существует такого действительного числа $x$, которое удовлетворяло бы этому условию.

Именно поэтому в множестве действительных чисел операция извлечения корня чётной степени из отрицательного числа не определена.

Важное замечание: В математике существует расширение множества действительных чисел — это множество комплексных чисел. В нём данная проблема решается, и корень чётной степени из отрицательного числа извлечь можно. Например, $\sqrt{-1}$ в комплексных числах равен мнимой единице $i$. Однако в рамках стандартного школьного курса алгебры, который оперирует только действительными числами, такое действие считается невозможным.

Ответ: В множестве действительных чисел не существует корней чётной степени из отрицательного числа, так как возведение любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) в чётную степень всегда даёт неотрицательный результат ($\ge 0$). Следовательно, невозможно найти такое действительное число $x$, для которого равенство $x^n = a$ было бы верным, если $n$ — чётное, а $a$ — отрицательное.

3.40 Покажите с помощью графика функции $y = x^3$, что существует единственный кубический корень из числа:

а) 1;

б) 5;

в) 0;

г) -3.

Для того чтобы с помощью графика функции $y = x^3$ показать, что существует единственный кубический корень из некоторого числа $a$, необходимо рассмотреть графическое решение уравнения $x^3 = a$.

Корень (или корни) этого уравнения — это абсцисса (координата $x$) точки пересечения двух графиков: кубической параболы $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Функция $y = x^3$ является непрерывной и строго возрастающей на всей своей области определения (от $-\infty$ до $+\infty$). Это означает, что любое свое значение она принимает ровно один раз. Геометрически это выражается в том, что любая горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график функции $y = x^3$ ровно в одной точке. Абсцисса этой единственной точки пересечения и есть единственный кубический корень из числа $a$.

Продемонстрируем это для каждого из заданных чисел.

Чтобы найти кубический корень из 1, необходимо решить уравнение $x^3 = 1$. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = 1$. Горизонтальная прямая $y = 1$ пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке, координаты которой $(1, 1)$. Абсцисса этой точки равна 1. Таким образом, существует только один кубический корень из числа 1, и он равен 1.

Ответ: Прямая $y=1$ пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке $(1, 1)$, следовательно, существует единственный кубический корень из 1, который равен 1.

Чтобы найти кубический корень из 5, решим уравнение $x^3 = 5$. Рассмотрим пересечение графика $y = x^3$ с горизонтальной прямой $y = 5$. Поскольку функция $y = x^3$ строго возрастает и ее область значений — все действительные числа, прямая $y = 5$ пересечет ее график ровно в одной точке. Абсцисса этой точки и есть единственный кубический корень из 5, который обозначается как $\sqrt[3]{5}$.

Ответ: Прямая $y=5$ пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке, абсцисса которой равна $\sqrt[3]{5}$, следовательно, существует единственный кубический корень из 5.

Чтобы найти кубический корень из 0, решим уравнение $x^3 = 0$. Графически это соответствует поиску точки пересечения графика $y = x^3$ и прямой $y = 0$ (оси Ox). Эти графики имеют только одну общую точку — начало координат $(0, 0)$. Абсцисса этой точки равна 0. Следовательно, существует единственный кубический корень из 0, который равен 0.

Ответ: Прямая $y=0$ пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке $(0, 0)$, следовательно, существует единственный кубический корень из 0, который равен 0.

Чтобы найти кубический корень из -3, решим уравнение $x^3 = -3$. Рассмотрим пересечение графика $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = -3$. Аналогично предыдущим случаям, из-за свойства строгого возрастания функции $y = x^3$ эта прямая пересечет ее график только в одной точке. Абсцисса этой точки, равная $\sqrt[3]{-3}$, является единственным кубическим корнем из числа -3.

Ответ: Прямая $y=-3$ пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке, абсцисса которой равна $\sqrt[3]{-3}$, следовательно, существует единственный кубический корень из -3.