Страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.23° Что называют:

а) квадратным корнем;

б) кубическим корнем;

в) корнем пятой степени;

г) корнем $n$-й степени

из числа $b$?

а) квадратным корнем

Квадратным корнем из числа $b$ называют число, квадрат которого (то есть вторая степень) равен числу $b$. Если обозначить квадратный корень буквой $x$, то по определению должно выполняться равенство $x^2 = b$.

Например, для числа $b = 25$ квадратными корнями являются числа $x = 5$ и $x = -5$, поскольку $5^2 = 25$ и $(-5)^2 = 25$. Неотрицательный квадратный корень называют арифметическим квадратным корнем и обозначают символом $\sqrt{b}$. Если $b < 0$, то действительных квадратных корней из него не существует.

Ответ: Квадратным корнем из числа $b$ называют число $x$, для которого выполняется равенство $x^2 = b$.

б) кубическим корнем

Кубическим корнем из числа $b$ называют число, куб которого (то есть третья степень) равен числу $b$. Если обозначить кубический корень буквой $x$, то по определению должно выполняться равенство $x^3 = b$. Кубический корень обозначается как $\sqrt[3]{b}$.

Для любого действительного числа $b$ существует только один действительный кубический корень. Например, кубическим корнем из $b = 8$ является число $x = 2$, так как $2^3 = 8$. Кубическим корнем из $b = -27$ является число $x = -3$, так как $(-3)^3 = -27$.

Ответ: Кубическим корнем из числа $b$ называют число $x$, для которого выполняется равенство $x^3 = b$.

в) корнем пятой степени

Корнем пятой степени из числа $b$ называют число, пятая степень которого равна числу $b$. Если обозначить корень пятой степени буквой $x$, то по определению должно выполняться равенство $x^5 = b$. Корень пятой степени обозначается как $\sqrt[5]{b}$.

Поскольку показатель степени 5 — нечетное число, для любого действительного числа $b$ существует ровно один действительный корень пятой степени. Например, корнем пятой степени из $b = 243$ является число $x = 3$, так как $3^5 = 243$.

Ответ: Корнем пятой степени из числа $b$ называют число $x$, для которого выполняется равенство $x^5 = b$.

г) корнем n-й степени

Корнем $n$-й степени из числа $b$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называют число, $n$-я степень которого равна числу $b$. Если обозначить корень $n$-й степени буквой $x$, то по определению должно выполняться равенство $x^n = b$.

Число $n$ называют показателем корня. Корень $n$-й степени из $b$ обозначается как $\sqrt[n]{b}$ (при $n=2$ показатель корня принято не писать: $\sqrt{b}$). Понятия "квадратный корень", "кубический корень" и "корень пятой степени" являются частными случаями корня $n$-й степени при $n=2$, $n=3$ и $n=5$ соответственно.

Количество действительных корней $n$-й степени из числа $b$ зависит от четности показателя $n$ и знака числа $b$:

• Если $n$ — четное число и $b > 0$, существует два действительных корня, которые являются противоположными числами.
• Если $n$ — четное число и $b = 0$, существует один корень, равный нулю.
• Если $n$ — четное число и $b < 0$, действительных корней не существует.
• Если $n$ — нечетное число, то для любого действительного числа $b$ существует ровно один действительный корень.

Ответ: Корнем $n$-й степени из числа $b$ (где $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$) называют число $x$, для которого выполняется равенство $x^n = b$.

3.24 a) Сколько существует корней четвёртой степени из числа: 1; 81; 0; 625?

б) Сколько существует корней пятой степени из числа: 0; 1; -1?

а) Корень четвёртой степени из числа $a$ — это такое число $x$, для которого выполняется равенство $x^4 = a$. Речь идёт о количестве действительных (вещественных) корней.

Поскольку степень корня $n=4$ является чётным числом, количество действительных корней зависит от знака числа $a$:

• Если $a > 0$, то уравнение $x^4 = a$ имеет два действительных корня: $\sqrt[4]{a}$ и $-\sqrt[4]{a}$.
• Если $a = 0$, то уравнение имеет один действительный корень: $x = 0$.
• Если $a < 0$, то действительных корней нет.

Рассмотрим каждое число из задания:

Для числа 1: необходимо найти количество корней уравнения $x^4 = 1$. Так как $1 > 0$, существует два действительных корня. Это числа $1$ и $-1$.

Для числа 81: необходимо найти количество корней уравнения $x^4 = 81$. Так как $81 > 0$, существует два действительных корня. Это числа $3$ и $-3$.

Для числа 0: необходимо найти количество корней уравнения $x^4 = 0$. Существует один действительный корень: $0$.

Для числа 625: необходимо найти количество корней уравнения $x^4 = 625$. Так как $625 > 0$, существует два действительных корня. Это числа $5$ и $-5$.

Ответ: для числа 1 существует 2 корня; для числа 81 — 2 корня; для числа 0 — 1 корень; для числа 625 — 2 корня.

б) Корень пятой степени из числа $a$ — это такое число $x$, для которого выполняется равенство $x^5 = a$.

Поскольку степень корня $n=5$ является нечётным числом, для любого действительного числа $a$ (положительного, отрицательного или равного нулю) всегда существует ровно один действительный корень нечётной степени: $x = \sqrt[5]{a}$.

Рассмотрим каждое число из задания:

Для числа 0: необходимо найти количество корней уравнения $x^5 = 0$. Существует один действительный корень: $0$.

Для числа 1: необходимо найти количество корней уравнения $x^5 = 1$. Существует один действительный корень: $1$.

Для числа -1: необходимо найти количество корней уравнения $x^5 = -1$. Существует один действительный корень: $-1$.

Ответ: для каждого из чисел 0, 1 и -1 существует по одному корню пятой степени.

3.25 a) Выпишите все натуральные числа, кубы которых не превышают 10 000.

б) Выпишите все целые числа, четвёртые степени которых не превышают 100 000.

а) Требуется найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется неравенство $n^3 \le 10000$. Это означает, что нам нужно найти все натуральные числа $n$, которые не превышают значения $\sqrt[3]{10000}$.
Чтобы найти это максимальное значение $n$, будем последовательно возводить натуральные числа в куб, пока результат не превысит 10000.
Начнем с оценки: $10^3 = 1000$ (что меньше 10000).
$20^3 = 8000$ (что также меньше 10000).
Проверим числа, следующие за 20:
$21^3 = 21 \cdot 21 \cdot 21 = 441 \cdot 21 = 9261$. Это значение не превышает 10000.
$22^3 = 22 \cdot 22 \cdot 22 = 484 \cdot 22 = 10648$. Это значение уже больше 10000.
Таким образом, наибольшее натуральное число, куб которого не превышает 10000, это 21. Следовательно, нам нужно выписать все натуральные числа от 1 до 21.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.

б) Требуется найти все целые числа $z$, для которых выполняется неравенство $z^4 \le 100000$.
Поскольку степень четная (4), то $z^4$ всегда будет неотрицательным числом, и $z^4 = (-z)^4$. Это значит, что если какое-то положительное число $z$ является решением, то и соответствующее ему отрицательное число $-z$ также будет решением. Неравенство можно переписать как $|z|^4 \le 100000$, или $|z| \le \sqrt[4]{100000}$.
Найдем максимальное целое значение $|z|$, удовлетворяющее этому условию. Будем возводить числа в четвертую степень:
$10^4 = 10000$ (что меньше 100000).
$20^4 = 160000$ (что больше 100000).
Значит, искомое число находится между 10 и 20. Проверим значения в этом диапазоне:
$15^4 = (15^2)^2 = 225^2 = 50625 \le 100000$.
$17^4 = (17^2)^2 = 289^2 = 83521 \le 100000$.
$18^4 = (18^2)^2 = 324^2 = 104976 > 100000$.
Наибольшее целое неотрицательное число, четвертая степень которого не превышает 100000, это 17. Значит, $|z| \le 17$.
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-17 \le z \le 17$. Следовательно, нам нужно выписать все целые числа от -17 до 17 включительно.
Ответ: -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.

3.26 Сколько существует натуральных чисел, шестая степень которых не превышает 1 000 000?

Пусть $n$ – искомое натуральное число. По условию задачи, шестая степень этого числа не должна превышать 1 000 000. Это можно записать в виде математического неравенства:
$n^6 \le 1 000 000$
Чтобы найти все натуральные значения $n$, которые удовлетворяют этому условию, нужно решить данное неравенство. Для этого извлечем корень шестой степени из обеих частей:
$\sqrt[6]{n^6} \le \sqrt[6]{1 000 000}$
Поскольку $n$ является натуральным числом (то есть $n > 0$), то $\sqrt[6]{n^6} = n$.
Заметим, что $1 000 000 = 10^6$. Подставим это в неравенство:
$n \le \sqrt[6]{10^6}$
$n \le 10$
Таким образом, нам подходят все натуральные числа от 1 до 10 включительно. Перечислим их: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Всего таких чисел 10.
Проверим граничные значения:
$10^6 = 1 000 000$. Это значение удовлетворяет условию $n^6 \le 1 000 000$.
$11^6 = 1 771 561$. Это значение больше, чем 1 000 000, и не удовлетворяет условию.
Следовательно, количество натуральных чисел, удовлетворяющих условию, равно 10.
Ответ: 10

3.27 Найдите ребро куба, если его объём равен:

а) $1 \text{ м}^3$;

б) $8 \text{ см}^3$;

в) $27 \text{ дм}^3$;

г) $64 \text{ мм}^3$;

д) $1000 \text{ км}^3$;

е) $1\,000\,000 \text{ м}^3$.

Объем куба $(V)$ вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба. Чтобы найти ребро куба, зная его объем, необходимо извлечь кубический корень из объема: $a = \sqrt[3]{V}$.

а)

Дан объем куба $V = 1 \text{ м}^3$. Чтобы найти длину ребра $a$, извлечем кубический корень из объема:

$a = \sqrt[3]{1 \text{ м}^3}$

Так как $1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$, то ребро куба равно 1 м.

Ответ: 1 м.

б)

Дан объем куба $V = 8 \text{ см}^3$. Чтобы найти длину ребра $a$, извлечем кубический корень из объема:

$a = \sqrt[3]{8 \text{ см}^3}$

Так как $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$, то ребро куба равно 2 см.

Ответ: 2 см.

в)

Дан объем куба $V = 27 \text{ дм}^3$. Чтобы найти длину ребра $a$, извлечем кубический корень из объема:

$a = \sqrt[3]{27 \text{ дм}^3}$

Так как $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$, то ребро куба равно 3 дм.

Ответ: 3 дм.

г)

Дан объем куба $V = 64 \text{ мм}^3$. Чтобы найти длину ребра $a$, извлечем кубический корень из объема:

$a = \sqrt[3]{64 \text{ мм}^3}$

Так как $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$, то ребро куба равно 4 мм.

Ответ: 4 мм.

д)

Дан объем куба $V = 1000 \text{ км}^3$. Чтобы найти длину ребра $a$, извлечем кубический корень из объема:

$a = \sqrt[3]{1000 \text{ км}^3}$

Так как $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$, то ребро куба равно 10 км.

Ответ: 10 км.

е)

Дан объем куба $V = 1\,000\,000 \text{ м}^3$. Чтобы найти длину ребра $a$, извлечем кубический корень из объема:

$a = \sqrt[3]{1\,000\,000 \text{ м}^3}$

Так как $100^3 = 100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000$, то ребро куба равно 100 м.

Ответ: 100 м.