Номер 3.25, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.3. Понятие корня степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.25, страница 101.

3.25 a) Выпишите все натуральные числа, кубы которых не превышают 10 000.

б) Выпишите все целые числа, четвёртые степени которых не превышают 100 000.

а) Требуется найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется неравенство $n^3 \le 10000$. Это означает, что нам нужно найти все натуральные числа $n$, которые не превышают значения $\sqrt[3]{10000}$.
Чтобы найти это максимальное значение $n$, будем последовательно возводить натуральные числа в куб, пока результат не превысит 10000.
Начнем с оценки: $10^3 = 1000$ (что меньше 10000).
$20^3 = 8000$ (что также меньше 10000).
Проверим числа, следующие за 20:
$21^3 = 21 \cdot 21 \cdot 21 = 441 \cdot 21 = 9261$. Это значение не превышает 10000.
$22^3 = 22 \cdot 22 \cdot 22 = 484 \cdot 22 = 10648$. Это значение уже больше 10000.
Таким образом, наибольшее натуральное число, куб которого не превышает 10000, это 21. Следовательно, нам нужно выписать все натуральные числа от 1 до 21.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.

б) Требуется найти все целые числа $z$, для которых выполняется неравенство $z^4 \le 100000$.
Поскольку степень четная (4), то $z^4$ всегда будет неотрицательным числом, и $z^4 = (-z)^4$. Это значит, что если какое-то положительное число $z$ является решением, то и соответствующее ему отрицательное число $-z$ также будет решением. Неравенство можно переписать как $|z|^4 \le 100000$, или $|z| \le \sqrt[4]{100000}$.
Найдем максимальное целое значение $|z|$, удовлетворяющее этому условию. Будем возводить числа в четвертую степень:
$10^4 = 10000$ (что меньше 100000).
$20^4 = 160000$ (что больше 100000).
Значит, искомое число находится между 10 и 20. Проверим значения в этом диапазоне:
$15^4 = (15^2)^2 = 225^2 = 50625 \le 100000$.
$17^4 = (17^2)^2 = 289^2 = 83521 \le 100000$.
$18^4 = (18^2)^2 = 324^2 = 104976 > 100000$.
Наибольшее целое неотрицательное число, четвертая степень которого не превышает 100000, это 17. Значит, $|z| \le 17$.
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-17 \le z \le 17$. Следовательно, нам нужно выписать все целые числа от -17 до 17 включительно.
Ответ: -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.