Номер 3.24, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.3. Понятие корня степени n - номер 3.24, страница 101.

Условие.

3.24 a) Сколько существует корней четвёртой степени из числа: 1; 81; 0; 625?

б) Сколько существует корней пятой степени из числа: 0; 1; -1?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Корень четвёртой степени из числа $a$ — это такое число $x$, для которого выполняется равенство $x^4 = a$. Речь идёт о количестве действительных (вещественных) корней.

Поскольку степень корня $n=4$ является чётным числом, количество действительных корней зависит от знака числа $a$:

• Если $a > 0$, то уравнение $x^4 = a$ имеет два действительных корня: $\sqrt[4]{a}$ и $-\sqrt[4]{a}$.
• Если $a = 0$, то уравнение имеет один действительный корень: $x = 0$.
• Если $a < 0$, то действительных корней нет.

Рассмотрим каждое число из задания:

Для числа 1: необходимо найти количество корней уравнения $x^4 = 1$. Так как $1 > 0$, существует два действительных корня. Это числа $1$ и $-1$.

Для числа 81: необходимо найти количество корней уравнения $x^4 = 81$. Так как $81 > 0$, существует два действительных корня. Это числа $3$ и $-3$.

Для числа 0: необходимо найти количество корней уравнения $x^4 = 0$. Существует один действительный корень: $0$.

Для числа 625: необходимо найти количество корней уравнения $x^4 = 625$. Так как $625 > 0$, существует два действительных корня. Это числа $5$ и $-5$.

Ответ: для числа 1 существует 2 корня; для числа 81 — 2 корня; для числа 0 — 1 корень; для числа 625 — 2 корня.

б) Корень пятой степени из числа $a$ — это такое число $x$, для которого выполняется равенство $x^5 = a$.

Поскольку степень корня $n=5$ является нечётным числом, для любого действительного числа $a$ (положительного, отрицательного или равного нулю) всегда существует ровно один действительный корень нечётной степени: $x = \sqrt[5]{a}$.

Рассмотрим каждое число из задания:

Для числа 0: необходимо найти количество корней уравнения $x^5 = 0$. Существует один действительный корень: $0$.

Для числа 1: необходимо найти количество корней уравнения $x^5 = 1$. Существует один действительный корень: $1$.

Для числа -1: необходимо найти количество корней уравнения $x^5 = -1$. Существует один действительный корень: $-1$.

Ответ: для каждого из чисел 0, 1 и -1 существует по одному корню пятой степени.