Номер 3.17, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.2. Функция y=x^n - номер 3.17, страница 100.

Условие.

3.17 Выясните, какой из графиков двух функций расположен выше другого на интервале (0; 1):

а) $y = x$ и $y = x^2$;

б) $y = x^2$ и $y = x^3$;

в) $y = x^3$ и $y = x^4$;

г) $y = x^4$ и $y = x^5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы выяснить, какой из графиков двух функций расположен выше другого на заданном интервале, необходимо сравнить значения этих функций для любого $x$ из этого интервала. График функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$, если для всех $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f(x) > g(x)$.

Рассмотрим интервал $x \in (0; 1)$. Для любого числа из этого интервала (например, $x=0.5$) его степень будет меньше самого числа ($0.5^2 = 0.25 < 0.5$). В общем случае, для $x \in (0; 1)$ и натуральных чисел $n < m$ справедливо неравенство $x^n > x^m$. Таким образом, на интервале $(0; 1)$ график степенной функции с меньшим показателем степени будет расположен выше.

а) $y = x$ и $y = x^2$

Сравним функции $y=x$ (можно записать как $y=x^1$) и $y=x^2$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($1$) меньше, чем у второй ($2$).
Проверим это, рассмотрев их разность: $x - x^2 = x(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $x(1-x) > 0$, что означает $x > x^2$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x$ расположен выше графика функции $y=x^2$.
Ответ: График функции $y=x$ расположен выше.

б) $y = x^2$ и $y = x^3$

Сравним функции $y=x^2$ и $y=x^3$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($2$) меньше, чем у второй ($3$).
Рассмотрим их разность: $x^2 - x^3 = x^2(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x^2 > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных сомножителей положительно, следовательно, $x^2(1-x) > 0$, что означает $x^2 > x^3$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x^2$ расположен выше графика функции $y=x^3$.
Ответ: График функции $y=x^2$ расположен выше.

в) $y = x^3$ и $y = x^4$

Сравним функции $y=x^3$ и $y=x^4$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($3$) меньше, чем у второй ($4$).
Рассмотрим их разность: $x^3 - x^4 = x^3(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x^3 > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных сомножителей положительно, следовательно, $x^3(1-x) > 0$, что означает $x^3 > x^4$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x^3$ расположен выше графика функции $y=x^4$.
Ответ: График функции $y=x^3$ расположен выше.

г) $y = x^4$ и $y = x^5$

Сравним функции $y=x^4$ и $y=x^5$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($4$) меньше, чем у второй ($5$).
Рассмотрим их разность: $x^4 - x^5 = x^4(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x^4 > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных сомножителей положительно, следовательно, $x^4(1-x) > 0$, что означает $x^4 > x^5$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x^4$ расположен выше графика функции $y=x^5$.
Ответ: График функции $y=x^4$ расположен выше.