Номер 3.17, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.2. Функция y=x^n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.17, страница 100.

3.17 Выясните, какой из графиков двух функций расположен выше другого на интервале (0; 1):

а) $y = x$ и $y = x^2$;

б) $y = x^2$ и $y = x^3$;

в) $y = x^3$ и $y = x^4$;

г) $y = x^4$ и $y = x^5$.

Для того чтобы выяснить, какой из графиков двух функций расположен выше другого на заданном интервале, необходимо сравнить значения этих функций для любого $x$ из этого интервала. График функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$, если для всех $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f(x) > g(x)$.

Рассмотрим интервал $x \in (0; 1)$. Для любого числа из этого интервала (например, $x=0.5$) его степень будет меньше самого числа ($0.5^2 = 0.25 < 0.5$). В общем случае, для $x \in (0; 1)$ и натуральных чисел $n < m$ справедливо неравенство $x^n > x^m$. Таким образом, на интервале $(0; 1)$ график степенной функции с меньшим показателем степени будет расположен выше.

а) $y = x$ и $y = x^2$

Сравним функции $y=x$ (можно записать как $y=x^1$) и $y=x^2$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($1$) меньше, чем у второй ($2$).
Проверим это, рассмотрев их разность: $x - x^2 = x(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $x(1-x) > 0$, что означает $x > x^2$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x$ расположен выше графика функции $y=x^2$.
Ответ: График функции $y=x$ расположен выше.

б) $y = x^2$ и $y = x^3$

Сравним функции $y=x^2$ и $y=x^3$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($2$) меньше, чем у второй ($3$).
Рассмотрим их разность: $x^2 - x^3 = x^2(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x^2 > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных сомножителей положительно, следовательно, $x^2(1-x) > 0$, что означает $x^2 > x^3$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x^2$ расположен выше графика функции $y=x^3$.
Ответ: График функции $y=x^2$ расположен выше.

в) $y = x^3$ и $y = x^4$

Сравним функции $y=x^3$ и $y=x^4$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($3$) меньше, чем у второй ($4$).
Рассмотрим их разность: $x^3 - x^4 = x^3(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x^3 > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных сомножителей положительно, следовательно, $x^3(1-x) > 0$, что означает $x^3 > x^4$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x^3$ расположен выше графика функции $y=x^4$.
Ответ: График функции $y=x^3$ расположен выше.

г) $y = x^4$ и $y = x^5$

Сравним функции $y=x^4$ и $y=x^5$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($4$) меньше, чем у второй ($5$).
Рассмотрим их разность: $x^4 - x^5 = x^4(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x^4 > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных сомножителей положительно, следовательно, $x^4(1-x) > 0$, что означает $x^4 > x^5$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x^4$ расположен выше графика функции $y=x^5$.
Ответ: График функции $y=x^4$ расположен выше.