Номер 3.12, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.2. Функция y=x^n - номер 3.12, страница 99.

Условие.

3.12 В каких четвертях расположен график функции $y = x^n$ при:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 5$;

г) $n = 6$;

д) $n$ чётном;

е) $n$ нечётном?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для определения, в каких четвертях расположен график функции $y=x^n$, необходимо проанализировать знаки переменных $x$ и $y$ в зависимости от показателя степени $n$.

Координатные четверти определяются знаками координат:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

а) n = 3;
Функция имеет вид $y = x^3$. Показатель степени $n=3$ является нечётным числом.
1. Если $x > 0$, то $y = x^3$ также будет больше нуля ($y > 0$). Точки с положительными координатами $(x, y)$ лежат в I четверти.
2. Если $x < 0$, то $y = x^3$ будет меньше нуля ($y < 0$), так как нечётная степень отрицательного числа отрицательна. Точки с отрицательными координатами $(x, y)$ лежат в III четверти.
Таким образом, график функции расположен в I и III четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.

б) n = 4;
Функция имеет вид $y = x^4$. Показатель степени $n=4$ является чётным числом.
1. Если $x > 0$, то $y = x^4$ будет больше нуля ($y > 0$). Точки с координатами $(x>0, y>0)$ лежат в I четверти.
2. Если $x < 0$, то $y = x^4$ будет больше нуля ($y > 0$), так как чётная степень любого ненулевого действительного числа положительна. Точки с координатами $(x<0, y>0)$ лежат во II четверти.
Таким образом, график функции расположен в I и II четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

в) n = 5;
Функция имеет вид $y = x^5$. Показатель степени $n=5$ является нечётным числом. Аналогично случаю с $n=3$:
1. При $x > 0$, значение $y = x^5$ будет положительным. Это I четверть.
2. При $x < 0$, значение $y = x^5$ будет отрицательным. Это III четверть.
Таким образом, график функции расположен в I и III четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.

г) n = 6;
Функция имеет вид $y = x^6$. Показатель степени $n=6$ является чётным числом. Аналогично случаю с $n=4$:
1. При $x > 0$, значение $y = x^6$ будет положительным. Это I четверть.
2. При $x < 0$, значение $y = x^6$ будет положительным. Это II четверть.
Таким образом, график функции расположен в I и II четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

д) n чётном;
Если $n$ — чётное натуральное число, то для любого ненулевого значения $x$ значение $y = x^n$ будет положительным.
1. Если $x > 0$, то $y = x^n > 0$. Это I четверть.
2. Если $x < 0$, то $y = x^n > 0$, так как $x^n = (-|x|)^n = |x|^n > 0$ для чётного $n$. Это II четверть.
Следовательно, при любом чётном $n$ график функции $y=x^n$ расположен в I и II четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

е) n нечётном?
Если $n$ — нечётное натуральное число, то знак $y=x^n$ совпадает со знаком $x$.
1. Если $x > 0$, то $y = x^n > 0$. Это I четверть.
2. Если $x < 0$, то $y = x^n < 0$, так как $x^n = (-|x|)^n = -|x|^n < 0$ для нечётного $n$. Это III четверть.
Следовательно, при любом нечётном $n$ график функции $y=x^n$ расположен в I и III четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.