Номер 3.11, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.2. Функция y=x^n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.11, страница 99.

3.11 Какова область значений функции $y = x^n$ при:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n$ чётном;

г) $n$ нечётном?

а) n = 3;

Рассмотрим функцию $y = x^3$. Область определения этой функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Показатель степени $n = 3$ является нечётным числом. При возведении положительного числа в нечётную степень результат будет положительным. Например, $2^3 = 8$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y$ также стремится к $+\infty$. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат будет отрицательным. Например, $(-2)^3 = -8$. Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y$ также стремится к $-\infty$. При $x = 0$, $y = 0^3 = 0$. Таким образом, функция $y = x^3$ может принимать любые действительные значения. Область значений функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) n = 4;

Рассмотрим функцию $y = x^4$. Область определения этой функции — все действительные числа. Показатель степени $n = 4$ является чётным числом. При возведении любого действительного числа (кроме нуля) в чётную степень результат всегда будет положительным. Например, $2^4 = 16$ и $(-2)^4 = 16$. При $x = 0$, $y = 0^4 = 0$. Следовательно, для любого $x$ значение $y = x^4$ будет неотрицательным, то есть $y \geq 0$. Минимальное значение функции равно 0, и оно достигается при $x=0$. Максимального значения не существует, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$. Область значений функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

в) n чётном;

Пусть $n$ — любое чётное натуральное число. Можно записать $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Функция имеет вид $y = x^{n} = x^{2k}$. Это обобщение случая б). Для любого действительного $x \neq 0$, число $x^n = x^{2k} = (x^2)^k$ будет положительным, так как $x^2 > 0$, и возведение положительного числа в любую натуральную степень даёт положительный результат. Если $x=0$, то $y = 0^n = 0$. Таким образом, $y \geq 0$ для любого действительного $x$. Минимальное значение функции равно 0, а максимальное значение не ограничено. Область значений функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

г) n нечётном?

Пусть $n$ — любое нечётное натуральное число. Можно записать $n = 2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Функция имеет вид $y = x^n = x^{2k+1}$. Это обобщение случая а). Если $x > 0$, то $y = x^n > 0$. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Если $x < 0$, то $x$ можно представить как $x = -a$, где $a > 0$. Тогда $y = (-a)^n = (-1)^n \cdot a^n$. Так как $n$ нечётное, $(-1)^n = -1$. Следовательно, $y = -a^n < 0$. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$. Если $x=0$, то $y=0^n=0$. Функция принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Область значений функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.