Номер 3.4, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.1. Понятие функции и ее графика. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.4, страница 96.

Постройте график функции (3.4–3.7):

3.4

a) $y = x$;

б) $y = |x - 2|$;

в) $y = |x + 2|$;

г) $y = |x - 2| + 1.

а) Для построения графика функции $y=x$ следует учесть, что это линейная функция. Её графиком является прямая линия, которая проходит через начало координат и является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.
1. При $x=0$, значение $y=0$. Получаем точку $(0, 0)$.
2. При $x=1$, значение $y=1$. Получаем точку $(1, 1)$.
Соединив эти две точки, мы получим искомый график.
Ответ: График функции $y=x$ — это прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси Ох.

б) График функции $y = |x - 2|$ можно построить, используя преобразование графика базовой функции $y = |x|$.
1. Сначала мысленно или на черновике строим график функции $y = |x|$. Это график, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Вершина этого графика находится в точке $(0, 0)$.
2. График функции вида $y = f(x - a)$ получается путем сдвига (параллельного переноса) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ох) на $a$ единиц. Если $a > 0$, сдвиг происходит вправо, если $a < 0$ — влево. В нашем случае $a=2$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x|$ на 2 единицы вправо.
Таким образом, вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.
Альтернативно, можно раскрыть модуль:
$y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \\ -(x - 2), & \text{если } x - 2 < 0 \implies x < 2 \end{cases}$
Это означает, что для $x \ge 2$ мы строим луч прямой $y = x-2$, а для $x < 2$ — луч прямой $y = -x+2$. Оба луча встречаются в точке $(2, 0)$.
Ответ: График функции $y = |x - 2|$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо вдоль оси Ох. Это V-образная кривая с вершиной в точке $(2, 0)$.

в) Построение графика функции $y = |x + 2|$ аналогично предыдущему пункту.
1. Снова начинаем с графика функции $y = |x|$.
2. Функцию $y = |x + 2|$ можно записать как $y = |x - (-2)|$. Здесь $a = -2$, что означает сдвиг графика $y = |x|$ на 2 единицы влево вдоль оси Ох.
Вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 0)$.
Раскрывая модуль:
$y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 \\ -(x + 2), & \text{если } x + 2 < 0 \implies x < -2 \end{cases}$
Это означает, что для $x \ge -2$ мы строим луч прямой $y = x+2$, а для $x < -2$ — луч прямой $y = -x-2$. Оба луча встречаются в точке $(-2, 0)$.
Ответ: График функции $y = |x + 2|$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы влево вдоль оси Ох. Это V-образная кривая с вершиной в точке $(-2, 0)$.

г) Для построения графика функции $y = |x - 2| + 1$ применим последовательно два преобразования.
1. Сначала выполним преобразование для аргумента, как в пункте б). Строим график $y = |x - 2|$, сдвигая график $y = |x|$ на 2 единицы вправо. Вершина этого промежуточного графика находится в точке $(2, 0)$.
2. Затем применим преобразование вида $y = f(x) + b$. Такое преобразование сдвигает график $y = f(x)$ вдоль оси ординат (Оу) на $b$ единиц. Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх, если $b < 0$ — вниз. В нашем случае $b=1$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x-2|$ на 1 единицу вверх.
Вершина графика перемещается из точки $(2, 0)$ в точку $(2, 1)$.
Ответ: График функции $y = |x - 2| + 1$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо вдоль оси Ох и на 1 единицу вверх вдоль оси Оу. Это V-образная кривая с вершиной в точке $(2, 1)$.