Номер 3.2, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.1. Понятие функции и ее графика. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.2, страница 96.

Найдите область определения функции (3.2–3.3):

3.2 а) $y = x$;

б) $y = 3x - 7$;

в) $y = x^2$;

г) $y = 3x^2 - 6x + 1;

д) $y = \frac{1}{x}$;

е) $y = \frac{4}{x-1} + 2.

а) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена (имеет смысл). Функция $y=x$ является линейной. Выражение $x$ определено для любых действительных значений $x$, так как в нем отсутствуют операции, накладывающие ограничения, такие как деление на переменную или извлечение корня четной степени. Следовательно, область определения — все действительные числа. Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = 3x - 7$ является линейной, её график — прямая линия. Выражение $3x - 7$ является многочленом первой степени. Любой многочлен определен для всех действительных значений переменной $x$. Таким образом, ограничений на область определения нет. Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Функция $y = x^2$ является квадратичной. Выражение $x^2$ — это многочлен второй степени. Как и для любого многочлена, область его определения — множество всех действительных чисел. Никаких ограничений для $x$ нет. Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) Функция $y = 3x^2 - 6x + 1$ также является квадратичной. Выражение в правой части является многочленом, который имеет смысл при любых действительных значениях $x$. Ограничений на область определения нет. Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

д) Функция $y = \frac{1}{x}$ является дробно-рациональной. В выражении присутствует деление на переменную $x$. Основное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Поэтому мы должны исключить значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x \neq 0$. Область определения функции — все действительные числа, кроме 0. Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

е) Функция $y = \frac{4}{x - 1} + 2$ также является дробно-рациональной. Чтобы найти область определения, нужно найти значения $x$, при которых знаменатель дроби $x - 1$ равен нулю, и исключить их. Решим уравнение: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Таким образом, $x$ не может быть равен 1. Свободный член $+2$ не влияет на область определения. Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме 1. Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.