Номер 2.105, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.105, страница 92.

2.105* Докажите, что не имеет решений уравнение:

a) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 1 + x;$

б) $\sqrt{x^2 - 9} + \sqrt{4 - x^2} = 2 - x;$

в) $\sqrt{x^2 + 2x - 8} + \sqrt{-x^2 + 3x - 2} = 3 - x;$

г) $\sqrt{x^2 - 6x + 5} + \sqrt{-x^2 + 7x - 12} = 4 + x.$

а)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 1 + x$.

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны выполняться условия, определяющие область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1. $x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

2. $1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies x \in [-1, 1]$.

Область допустимых значений является пересечением этих двух множеств: $((-\infty, -2] \cup [2, +\infty)) \cap [-1, 1]$. Данное пересечение является пустым множеством, так как нет чисел, которые одновременно удовлетворяли бы обоим условиям.

Поскольку ОДЗ уравнения пусто, уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

б)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x^2 - 9} + \sqrt{4 - x^2} = 2 - x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \\ 4 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 9 \ge 0 \implies x^2 \ge 9 \implies x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

2. $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies x \in [-2, 2]$.

Пересечение этих двух множеств, $((-\infty, -3] \cup [3, +\infty)) \cap [-2, 2]$, является пустым множеством. Нет таких значений $x$, которые бы принадлежали обоим интервалам одновременно.

Так как область допустимых значений пуста, уравнение не может иметь решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

в)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x^2 + 2x - 8} + \sqrt{-x^2 + 3x - 2} = 3 - x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 2x - 8 \ge 0 \\ -x^2 + 3x - 2 \ge 0 \end{cases}$

1. Для $x^2 + 2x - 8 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$.

2. Для $-x^2 + 3x - 2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 - 3x + 2 \le 0$. Найдем корни трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x + 2 \le 0$ выполняется при $x \in [1, 2]$.

Область допустимых значений — это пересечение множеств $(-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$ и $[1, 2]$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x = 2$.

Таким образом, если у уравнения и есть решение, то им может быть только $x = 2$. Проверим это, подставив значение в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{2^2 + 2 \cdot 2 - 8} + \sqrt{-2^2 + 3 \cdot 2 - 2} = \sqrt{4 + 4 - 8} + \sqrt{-4 + 6 - 2} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$.

Правая часть: $3 - x = 3 - 2 = 1$.

Получаем равенство $0 = 1$, которое является ложным. Следовательно, $x=2$ не является корнем уравнения.

Поскольку единственное возможное значение из ОДЗ не является решением, уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

г)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x^2 - 6x + 5} + \sqrt{-x^2 + 7x - 12} = 4 + x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 5 \ge 0 \\ -x^2 + 7x - 12 \ge 0 \end{cases}$

1. Для $x^2 - 6x + 5 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

2. Для $-x^2 + 7x - 12 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 - 7x + 12 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 7x + 12 \le 0$ выполняется при $x \in [3, 4]$.

Областью допустимых значений является пересечение множеств $((-\infty, 1] \cup [5, +\infty))$ и $[3, 4]$. Эти множества не пересекаются, следовательно, их пересечение — пустое множество.

Поскольку ОДЗ уравнения пусто, уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.