Номер 2.98, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.98, страница 90.

2.98 a) $$\begin{cases} x^2 \ge 4 \\ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 8x + 19} \ge 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x^2 \le 25 \\ \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 16} \le 0; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} (x - 2)(x - 3) \ge 0 \\ \frac{x + 3}{x^2 - 4} \ge 0; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} (x + 2)(x + 10) \le 0 \\ \frac{x - 2}{(x + 1)(x + 7)} \le 0. \end{cases}$$

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 \ge 4 \\ \frac{x^2-9}{x^2-8x+19} \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 \ge 4$.

Перенесем 4 в левую часть: $x^2 - 4 \ge 0$. Разложим на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$.

Корнями являются $x=-2$ и $x=2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне корней.

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x^2-9}{x^2-8x+19} \ge 0$.

Рассмотрим знаменатель $x^2-8x+19$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 64 - 76 = -12$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2-8x+19$ всегда положителен при любых действительных значениях $x$.

Поэтому знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно неравенству $x^2-9 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \ge 0$.

Корнями являются $x=-3$ и $x=3$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Решение второго: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Пересекая эти два множества на числовой оси, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 \le 25 \\ \frac{x^2+6x+9}{x^2-16} \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 \le 25$.

$x^2 - 25 \le 0 \implies (x-5)(x+5) \le 0$.

Корнями являются $x=-5$ и $x=5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-5, 5]$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x^2+6x+9}{x^2-16} \le 0$.

Преобразуем числитель и знаменатель, разложив их на множители:

$\frac{(x+3)^2}{(x-4)(x+4)} \le 0$.

Числитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=-3$.

Знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Неравенство выполняется, если:

а) Дробь равна нулю, что происходит при $x=-3$.

б) Дробь меньше нуля. Так как числитель $(x+3)^2 > 0$ при $x \neq -3$, это возможно только если знаменатель отрицателен: $(x-4)(x+4) < 0$. Решением этого неравенства является интервал $x \in (-4, 4)$.

Объединяя оба случая ($\{ -3 \}$ и $(-4, 4)$), получаем решение второго неравенства: $x \in (-4, 4)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого: $x \in [-5, 5]$.

Решение второго: $x \in (-4, 4)$.

Пересечением этих множеств является $x \in (-4, 4)$.

Ответ: $x \in (-4, 4)$.

в) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x-2)(x-3) \ge 0 \\ \frac{x+3}{x^2-4} > 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $(x-2)(x-3) \ge 0$.

Корни $x=2$ и $x=3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x+3}{x^2-4} > 0$.

Разложим знаменатель на множители: $\frac{x+3}{(x-2)(x+2)} > 0$.

Используем метод интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x=-3, x=-2, x=2$. Они разбивают числовую ось на интервалы.

Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, \infty)$, находим, что неравенство выполняется, когда $x \in (-3, -2) \cup (2, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Решение второго: $x \in (-3, -2) \cup (2, \infty)$.

Пересечение множества $(-\infty, 2]$ со вторым решением дает $(-3, -2)$.

Пересечение множества $[3, \infty)$ со вторым решением дает $[3, \infty)$.

Объединяем полученные результаты.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup [3, \infty)$.

г) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x+2)(x+10) \le 0 \\ \frac{x-2}{(x+1)(x+7)} \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $(x+2)(x+10) \le 0$.

Корни $x=-10$ и $x=-2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится между корнями: $x \in [-10, -2]$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x-2}{(x+1)(x+7)} \le 0$.

Используем метод интервалов. Критические точки: $x=-7, x=-1, x=2$.

Знаменатель не равен нулю, поэтому $x \neq -7$ и $x \neq -1$.

Неравенство нестрогое, поэтому корень числителя $x=2$ является решением.

Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, -7)$, $(-7, -1)$, $(-1, 2]$, $(2, \infty)$, находим, что неравенство выполняется, когда $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 2]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого: $x \in [-10, -2]$.

Решение второго: $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 2]$.

Найдем пересечение $ [-10, -2] \cap ((-\infty, -7) \cup (-1, 2])$.

Пересечение $[-10, -2]$ с $(-\infty, -7)$ дает $[-10, -7)$.

Пересечение $[-10, -2]$ с $(-1, 2]$ является пустым множеством, так как эти интервалы не пересекаются.

Итоговое решение — это первый найденный интервал.

Ответ: $x \in [-10, -7)$.