Номер 2.91, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10. Нестрогие неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.91, страница 87.

2.91* а) $ \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \ge 0; $

б) $ \frac{x^2 - 7x + 10}{25 - x^2} \le 0; $

в) $ 1 - x \ge \frac{1}{x - 3}; $

г) $ \frac{5}{x} - 4 \le \frac{2x + 3}{x - 1}. $

а) Решим неравенство $\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \ge 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
2. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1, x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
Знаменатель: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
3. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} \ge 0$.
4. С учетом ОДЗ ($x \neq 3$), сокращаем дробь на $(x-3)$. Получаем равносильное на ОДЗ неравенство: $\frac{x-1}{x+3} \ge 0$.
5. Решим полученное неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой нули числителя ($x=1$) и знаменателя ($x=-3$). Точка $x=1$ будет закрашенной (включена в решение), так как неравенство нестрогое. Точка $x=-3$ будет выколотой (не включена), так как она обращает знаменатель в ноль.

Определяем знаки на интервалах:
- при $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2+3} > 0$. Ставим "+".
- при $-3 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0+3} < 0$. Ставим "-".
- при $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4-1}{-4+3} > 0$. Ставим "+".
6. Выбираем интервалы со знаком "+", так как решаем неравенство $\ge 0$. Получаем $(-\infty, -3) \cup [1, \infty)$.
7. Учитываем первоначальное ограничение $x \neq 3$. Точка $x=3$ находится в интервале $[1, \infty)$, поэтому мы должны ее "выколоть".
Итоговое решение: $(-\infty, -3) \cup [1, 3) \cup (3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup [1, 3) \cup (3, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2 - 7x + 10}{25 - x^2} \le 0$.
1. ОДЗ: $25 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 25$, откуда $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
2. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$.
Знаменатель: $25 - x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5)$.
3. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)(x-5)}{-(x-5)(x+5)} \le 0$.
4. С учетом ОДЗ ($x \neq 5$), сокращаем дробь: $\frac{x-2}{-(x+5)} \le 0$.
5. Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный: $\frac{x-2}{x+5} \ge 0$.
6. Решаем методом интервалов. Нули числителя $x=2$, нули знаменателя $x=-5$.

Знаки на интервалах такие же, как в предыдущей задаче. Нам нужны интервалы со знаком "+".
Решение для $\frac{x-2}{x+5} \ge 0$ есть $(-\infty, -5) \cup [2, \infty)$.
7. Учитываем ОДЗ $x \neq 5$. Точка $x=5$ попадает в промежуток $[2, \infty)$, поэтому мы должны ее исключить.
Итоговое решение: $(-\infty, -5) \cup [2, 5) \cup (5, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup [2, 5) \cup (5, \infty)$.

в) Решим неравенство $1 - x \ge \frac{1}{x-3}$.
1. Перенесем все слагаемые в левую часть: $1 - x - \frac{1}{x-3} \ge 0$.
2. ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
3. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(1-x)(x-3) - 1}{x-3} \ge 0 \implies \frac{x-3-x^2+3x-1}{x-3} \ge 0 \implies \frac{-x^2+4x-4}{x-3} \ge 0$.
4. Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $\frac{x^2-4x+4}{x-3} \le 0$.
5. Числитель является полным квадратом: $x^2-4x+4 = (x-2)^2$. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)^2}{x-3} \le 0$.
6. Числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$ при всех $x$).
Следовательно, чтобы дробь была $\le 0$, необходимо рассмотреть два случая:
- Дробь равна 0. Это происходит, когда числитель равен 0, а знаменатель нет. $(x-2)^2=0 \implies x=2$. При $x=2$ знаменатель $2-3 = -1 \neq 0$. Значит, $x=2$ является решением.
- Дробь меньше 0. Так как числитель $(x-2)^2 > 0$ при $x \neq 2$, для отрицательности дроби необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным: $x-3 < 0 \implies x < 3$.
7. Объединяя полученные условия ($x=2$ и $x<3$), получаем итоговое решение $x<3$.
Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{5}{x} - 4 \le \frac{2x+3}{x-1}$.
1. Перенесем все слагаемые в левую часть: $\frac{5}{x} - 4 - \frac{2x+3}{x-1} \le 0$.
2. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
3. Приведем к общему знаменателю $x(x-1)$:
$\frac{5(x-1) - 4x(x-1) - x(2x+3)}{x(x-1)} \le 0$
$\frac{5x-5 - 4x^2+4x - 2x^2-3x}{x(x-1)} \le 0$
$\frac{-6x^2+6x-5}{x(x-1)} \le 0$
4. Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $\frac{6x^2-6x+5}{x(x-1)} \ge 0$.
5. Исследуем числитель $6x^2-6x+5$. Найдем его дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 36 - 120 = -84$.
6. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=6 > 0$, квадратный трехчлен $6x^2-6x+5$ всегда положителен при любом $x$.
7. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему: $x(x-1) > 0$. (Неравенство строгое, так как числитель никогда не равен нулю).
8. Решим неравенство $x(x-1) > 0$. Корни $x=0$ и $x=1$. Ветви параболы $y=x(x-1)$ направлены вверх, значит, выражение положительно за пределами корней.

Решением является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.