Номер 2.92, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10. Нестрогие неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.92, страница 87.

2.92 а) $\frac{(1-x)(x+2)}{x-3} \le 0$;

б) $\frac{3-x}{(4-x)(x+5)} \ge 0$;

в) $x-1 \ge \frac{x^2-5x-1}{x-1}$;

г) $\frac{x^2-4x-1}{x-2} \le x+2$;

д) $\frac{2+x-x^2}{x-3} \le 0$;

е) $\frac{5-x}{x^2-2x-24} \ge 0.$

а) $\frac{(1 - x)(x + 2)}{x - 3} \le 0$
Решим данное неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$; $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
Нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.
2. Отметим найденные точки на числовой оси. Точки $x=-2$ и $x=1$ будут закрашенными (включены в решение), так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=3$ будет выколотой (исключена из решения), так как на ноль делить нельзя.
3. Определим знак выражения $\frac{(1 - x)(x + 2)}{x - 3}$ на каждом из полученных интервалов.
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.
- При $1 < x < 3$ (например, $x=2$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
- При $-2 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$.
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком "минус", а также точки, где числитель равен нулю ($x=-2, x=1$).
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-2, 1] \cup (3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-2, 1] \cup (3, +\infty)$.

б) $\frac{3 - x}{(4 - x)(x + 5)} \ge 0$
Решим неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$.
Нули знаменателя: $4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$; $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.
2. Точка $x=3$ включена в решение (неравенство нестрогое). Точки $x=4$ и $x=-5$ исключены из решения (нули знаменателя).
3. Определим знак выражения $\frac{3 - x}{(4 - x)(x + 5)}$ на каждом интервале.
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(-)}{(-)(+)} > 0$.
- При $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $\frac{(-)}{(+)(+)} < 0$.
- При $-5 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(+)}{(+)(+)} > 0$.
- При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(+)}{(+)(-)} < 0$.
4. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это интервалы со знаком "плюс" и точка $x=3$.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-5, 3] \cup (4, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5, 3] \cup (4, +\infty)$.

в) $x - 1 \ge \frac{x^2 - 5x - 1}{x - 1}$
1. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 1$.
$x - 1 - \frac{x^2 - 5x - 1}{x - 1} \ge 0$
$\frac{(x - 1)^2 - (x^2 - 5x - 1)}{x - 1} \ge 0$
2. Упростим числитель.
$\frac{x^2 - 2x + 1 - x^2 + 5x + 1}{x - 1} \ge 0$
$\frac{3x + 2}{x - 1} \ge 0$
3. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2/3$ (точка включена).
Нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (точка исключена).
4. Определим знаки на интервалах для выражения $\frac{3x + 2}{x - 1}$.
- При $x > 1$: $\frac{(+)}{(+)} > 0$.
- При $-2/3 < x < 1$: $\frac{(+)}{(-)} < 0$.
- При $x < -2/3$: $\frac{(-)}{(-)} > 0$.
5. Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точку $x = -2/3$.
Решение: $x \in (-\infty, -2/3] \cup (1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2/3] \cup (1, +\infty)$.

г) $\frac{x^2 - 4x - 1}{x - 2} \le x + 2$
1. Перенесем все члены в левую часть. ОДЗ: $x \ne 2$.
$\frac{x^2 - 4x - 1}{x - 2} - (x + 2) \le 0$
$\frac{x^2 - 4x - 1 - (x + 2)(x - 2)}{x - 2} \le 0$
2. Упростим числитель.
$\frac{x^2 - 4x - 1 - (x^2 - 4)}{x - 2} \le 0$
$\frac{x^2 - 4x - 1 - x^2 + 4}{x - 2} \le 0$
$\frac{-4x + 3}{x - 2} \le 0$
3. Решим методом интервалов.
Нуль числителя: $-4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3/4$ (точка включена).
Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (точка исключена).
4. Определим знаки выражения $\frac{-4x + 3}{x - 2}$ на интервалах.
- При $x > 2$: $\frac{(-)}{(+)} < 0$.
- При $3/4 < x < 2$: $\frac{(-)}{(-)} > 0$.
- При $x < 3/4$: $\frac{(+)}{(-)} < 0$.
5. Выбираем интервалы со знаком "минус" и точку $x=3/4$.
Решение: $x \in (-\infty, 3/4] \cup (2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 3/4] \cup (2, +\infty)$.

д) $\frac{2 + x - x^2}{x - 3} \le 0$
1. Разложим числитель на множители: $2 + x - x^2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{-(x - 2)(x + 1)}{x - 3} \le 0$.
2. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 3} \ge 0$
3. Решим методом интервалов.
Нули числителя: $x = 2, x = -1$ (точки включены).
Нуль знаменателя: $x = 3$ (точка исключена).
4. Определим знаки выражения $\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 3}$ на интервалах.
- При $x > 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
- При $2 < x < 3$: $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$.
- При $-1 < x < 2$: $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
- При $x < -1$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
5. Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точки $x=-1, x=2$.
Решение: $x \in [-1, 2] \cup (3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-1, 2] \cup (3, +\infty)$.

е) $\frac{5 - x}{x^2 - 2x - 24} \ge 0$
1. Разложим знаменатель на множители. Корни уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$ это $x_1=6, x_2=-4$.
Знаменатель: $x^2 - 2x - 24 = (x-6)(x+4)$.
Неравенство: $\frac{5 - x}{(x - 6)(x + 4)} \ge 0$.
2. Решим методом интервалов.
Нуль числителя: $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$ (точка включена).
Нули знаменателя: $x = 6, x = -4$ (точки исключены).
3. Определим знаки выражения $\frac{5 - x}{(x - 6)(x + 4)}$ на интервалах.
- При $x > 6$: $\frac{(-)}{(+)(+)} < 0$.
- При $5 < x < 6$: $\frac{(-)}{(-)(+)} > 0$.
- При $-4 < x < 5$: $\frac{(+)}{(-)(+)} < 0$.
- При $x < -4$: $\frac{(+)}{(-)(-)} > 0$.
4. Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точку $x=5$.
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup [5, 6)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [5, 6)$.