Номер 2.90, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10. Нестрогие неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.90, страница 87.

2.90 а) $\frac{1}{x-1} \ge 0;$

б) $\frac{5}{2-x} \le 0;$

в) $\frac{x-8}{2x+3} \ge 0;$

г) $\frac{3-4x}{5+x} \le 0.$

а) Решим неравенство $\frac{1}{x-1} \ge 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием, что знаменатель не равен нулю:
$x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
Числитель дроби равен 1, что является положительным числом. Чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть положительным. Так как числитель не равен нулю, то и вся дробь не может быть равна нулю, поэтому знак неравенства становится строгим.
Таким образом, неравенство сводится к следующему:
$x - 1 > 0$
$x > 1$
Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{5}{2-x} \le 0$.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю.
$2 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$.
Числитель дроби равен 5, что является положительным числом. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным. Равенство нулю невозможно, так как числитель отличен от нуля.
Следовательно, решаем неравенство:
$2 - x < 0$
$2 < x$
Или $x > 2$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x-8}{2x+3} \ge 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули числителя:
$x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка включается в решение (на числовой оси она будет закрашенной).
2. Найдем нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено):
$2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -1.5$.
Эта точка всегда исключается из решения (на числовой оси она будет выколотой).
3. Отметим точки $x = -1.5$ и $x = 8$ на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -1.5)$, $(-1.5; 8)$ и $(8; +\infty)$.
4. Определим знак выражения на каждом интервале, подставив в него любое значение из этого интервала:
- Для интервала $(8; +\infty)$, возьмем $x=10$: $\frac{10-8}{2 \cdot 10+3} = \frac{2}{23} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-1.5; 8)$, возьмем $x=0$: $\frac{0-8}{2 \cdot 0+3} = -\frac{8}{3} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-\infty; -1.5)$, возьмем $x=-2$: $\frac{-2-8}{2(-2)+3} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+" и точка, где числитель равен нулю.
Получаем объединение интервалов: $(-\infty; -1.5)$ и $[8; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup [8; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{3-4x}{5+x} \le 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули числителя:
$3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$.
Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка включается в решение.
2. Найдем нули знаменателя:
$5 + x = 0 \Rightarrow x = -5$.
Эта точка исключается из решения.
3. Отметим точки $x = -5$ и $x = \frac{3}{4}$ на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; \frac{3}{4})$ и $(\frac{3}{4}; +\infty)$.
4. Определим знак выражения на каждом интервале:
- Для интервала $(\frac{3}{4}; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{3-4(1)}{5+1} = \frac{-1}{6} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-5; \frac{3}{4})$, возьмем $x=0$: $\frac{3-4(0)}{5+0} = \frac{3}{5} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-\infty; -5)$, возьмем $x=-10$: $\frac{3-4(-10)}{5-10} = \frac{43}{-5} < 0$. Знак "-".
5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "-" и точка, где числитель равен нулю.
Получаем объединение интервалов: $(-\infty; -5)$ и $[\frac{3}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup [\frac{3}{4}; +\infty)$.