Номер 2.83, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10. Нестрогие неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.83, страница 87.

2.83 a) $(x - 2)(x + 3) \geq 0;$

Б) $(x - 2)(x + 3) \leq 0;$

В) $(x - 4)(x + 3) \leq 0;$

Г) $(x + 4)(x - 3) \geq 0.$

а) Решим неравенство $(x - 2)(x + 3) \ge 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули левой части неравенства, решив уравнение:
$(x - 2)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
2. Отметим найденные корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $-3$ и $2$ включаются в решение. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $(x - 2)(x + 3)$ в каждом из интервалов, подставляя произвольное значение из каждого интервала:
- Для интервала $(2; +\infty)$, возьмём $x = 3$: $(3 - 2)(3 + 3) = 1 \cdot 6 = 6$. Знак `+`.
- Для интервала $(-3; 2)$, возьмём $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 3) = -2 \cdot 3 = -6$. Знак `-`.
- Для интервала $(-\infty; -3)$, возьмём $x = -4$: $(-4 - 2)(-4 + 3) = (-6) \cdot (-1) = 6$. Знак `+`.
4. Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно (имеет знак `+` или равно 0). Это объединение двух промежутков: $(-\infty; -3]$ и $[2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x - 2)(x + 3) \le 0$.
Выражение в левой части то же, что и в пункте а). Корни уравнения $(x - 2)(x + 3) = 0$ также $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Используем результаты анализа знаков из предыдущего пункта: знаки на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$ будут `+`, `-`, `+` соответственно.
В данном случае нас интересуют промежутки, где выражение не положительно (имеет знак `-` или равно 0), так как неравенство имеет вид $\le 0$.
Это соответствует промежутку между корнями. Поскольку неравенство нестрогое, концы промежутка $[-3, 2]$ включаются в решение.
Ответ: $x \in [-3; 2]$.

в) Решим неравенство $(x - 4)(x + 3) \le 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули левой части неравенства:
$(x - 4)(x + 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.
2. Отметим корни $-3$ и $4$ на числовой оси. Точки включаются в решение (неравенство нестрогое, $\le$). Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 4)$ и $(4; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $(x - 4)(x + 3)$ в каждом из интервалов:
- Для интервала $(4; +\infty)$, возьмём $x = 5$: $(5 - 4)(5 + 3) = 1 \cdot 8 = 8$. Знак `+`.
- Для интервала $(-3; 4)$, возьмём $x = 0$: $(0 - 4)(0 + 3) = -4 \cdot 3 = -12$. Знак `-`.
- Для интервала $(-\infty; -3)$, возьмём $x = -4$: $(-4 - 4)(-4 + 3) = (-8) \cdot (-1) = 8$. Знак `+`.
4. Нас интересует промежуток, где выражение не положительно (знак `-` или равно 0). Это промежуток $[-3; 4]$.
Ответ: $x \in [-3; 4]$.

г) Решим неравенство $(x + 4)(x - 3) \ge 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули левой части неравенства:
$(x + 4)(x - 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$.
2. Отметим корни $-4$ и $3$ на числовой оси. Точки включаются в решение (неравенство нестрогое, $\ge$). Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 3)$ и $(3; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $(x + 4)(x - 3)$ в каждом из интервалов:
- Для интервала $(3; +\infty)$, возьмём $x = 4$: $(4 + 4)(4 - 3) = 8 \cdot 1 = 8$. Знак `+`.
- Для интервала $(-4; 3)$, возьмём $x = 0$: $(0 + 4)(0 - 3) = 4 \cdot (-3) = -12$. Знак `-`.
- Для интервала $(-\infty; -4)$, возьмём $x = -5$: $(-5 + 4)(-5 - 3) = (-1) \cdot (-8) = 8$. Знак `+`.
4. Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно (знак `+` или равно 0). Это объединение двух промежутков: $(-\infty; -4]$ и $[3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$.