Номер 2.77, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.9. Рациональные неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.77, страница 83.

2.77 a) $\frac{(x - 2)(x + 3)}{x^2 - 4} < 0;$

б) $\frac{x^2 - 9}{(x + 3)(x - 1)} > 0;$

В) $\frac{x^2 + 5x - 6}{(x - 1)(x + 3)} > 0;$

Г) $\frac{x^2 + 4x + 4}{(x + 1)(x - 3)} < 0;$

Д) $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} < 0;$

е) $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1} > 0.$

a) Решим неравенство $\frac{(x-2)(x+3)}{x^2-4} < 0$.

Сначала разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

Неравенство примет вид: $\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)} < 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2-4 \neq 0$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

На ОДЗ, где $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на множитель $(x-2)$. Получим более простое неравенство:

$\frac{x+3}{x+2} < 0$.

Решим его методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя: $x=-3$ и $x=-2$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак выражения на каждом из них:

• На интервале $(-\infty; -3)$, например при $x=-4$: $\frac{-4+3}{-4+2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0$.

• На интервале $(-3; -2)$, например при $x=-2.5$: $\frac{-2.5+3}{-2.5+2} = \frac{0.5}{-0.5} = -1 < 0$.

• На интервале $(-2; +\infty)$, например при $x=0$: $\frac{0+3}{0+2} = \frac{3}{2} > 0$.

Неравенство выполняется на интервале $(-3; -2)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как точки $2$ и $-2$ в него не входят.

Ответ: $x \in (-3; -2)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2-9}{(x+3)(x-1)} > 0$.

Разложим числитель на множители: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.

Неравенство примет вид: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-1)} > 0$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, т.е. $(x+3)(x-1) \neq 0$, откуда $x \neq -3$ и $x \neq 1$.

При $x \neq -3$ можно сократить дробь на $(x+3)$:

$\frac{x-3}{x-1} > 0$.

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=1$. Определим знаки на интервалах:

• На интервале $(-\infty; 1)$: знак $(+)$.

• На интервале $(1; 3)$: знак $(-)$.

• На интервале $(3; +\infty)$: знак $(+)$.

Решением является объединение интервалов, где выражение положительно: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, а именно $x \neq -3$. Точка $-3$ принадлежит интервалу $(-\infty; 1)$, поэтому её необходимо исключить из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 1) \cup (3; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x^2+5x-6}{(x-1)(x+3)} > 0$.

Разложим числитель на множители. Корнями уравнения $x^2+5x-6=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=-6$.

Следовательно, $x^2+5x-6 = (x-1)(x+6)$.

Неравенство примет вид: $\frac{(x-1)(x+6)}{(x-1)(x+3)} > 0$.

ОДЗ: $(x-1)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

При $x \neq 1$ сократим дробь на $(x-1)$:

$\frac{x+6}{x+3} > 0$.

Методом интервалов находим нули: $x=-6$ и $x=-3$. Знаки на интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; -3)$, $(-3; +\infty)$ соответственно $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Решение: $(-\infty; -6) \cup (-3; +\infty)$.

Учтем ОДЗ: $x \neq 1$. Точка $1$ принадлежит интервалу $(-3; +\infty)$, поэтому её необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-3; 1) \cup (1; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2+4x+4}{(x+1)(x-3)} < 0$.

Числитель является полным квадратом: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$.

Неравенство примет вид: $\frac{(x+2)^2}{(x+1)(x-3)} < 0$.

ОДЗ: $(x+1)(x-3) \neq 0$, откуда $x \neq -1$ и $x \neq 3$.

Выражение в числителе $(x+2)^2$ всегда неотрицательно. Так как неравенство строгое ($<0$), то числитель не может быть равен нулю, то есть $(x+2)^2 \neq 0$, что означает $x \neq -2$. При $x \neq -2$ числитель всегда положителен. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:

$(x+1)(x-3) < 0$.

Корни этого квадратного трехчлена $x=-1$ и $x=3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому отрицательные значения находятся между корнями.

Решением является интервал $x \in (-1; 3)$.

Это решение удовлетворяет всем условиям: $x \neq -1$, $x \neq 3$ и $x \neq -2$ (поскольку $-2$ не входит в интервал $(-1; 3)$).

Ответ: $x \in (-1; 3)$.

д) Решим неравенство $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} < 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^2-6x+9 = (x-3)^2$

$x^2-9 = (x-3)(x+3)$

Неравенство примет вид: $\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)} < 0$.

ОДЗ: $x^2-9 \neq 0$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

При $x \neq 3$ сократим дробь на $(x-3)$:

$\frac{x-3}{x+3} < 0$.

Методом интервалов (нули $x=3$ и $x=-3$) находим, что выражение отрицательно на интервале $(-3; 3)$.

Решение $x \in (-3; 3)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

е) Решим неравенство $\frac{x^2+2x+1}{x^2-1} > 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^2+2x+1 = (x+1)^2$

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

Неравенство примет вид: $\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} > 0$.

ОДЗ: $x^2-1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

При $x \neq -1$ сократим дробь на $(x+1)$:

$\frac{x+1}{x-1} > 0$.

Методом интервалов (нули $x=-1$ и $x=1$) находим, что выражение положительно на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.

Решение $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.