Номер 2.71, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.8. Метод интервалов решения неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.71, страница 79.

2.71* Решите неравенство с помощью общего метода интервалов:

а) $(x - 1)^3 (x + 2)^2 (x - 4) > 0;$

б) $(x - 3)^2 (x - 5)^3 (x + 1) < 0;$

в) $(x + 3) (x + 4)^2 (x + 5)^3 < 0;$

г) $(x - 1) (x - 2)^2 (x - 3)^3 > 0;$

д) $(x + 5)^5 (x - 2)^2 (x + 4)^4 > 0;$

е) $(x + 4)^4 (x - 3)^3 (x + 2)^2 < 0.$

Общий метод интервалов для решения неравенств вида $f(x) > 0$ (или $<, \geq, \leq$) заключается в следующем:

1. Найти все корни (нули) функции $f(x)$, то есть решить уравнение $f(x)=0$.
2. Отметить найденные корни на числовой оси. Они разобьют ось на интервалы.
3. Определить знак функции $f(x)$ в каждом из интервалов. Для этого достаточно взять любую точку из интервала и подставить её в выражение для $f(x)$.
4. Учесть кратность корней: при переходе через корень нечётной кратности (например, $(x-a)^1, (x-a)^3, \dots$) знак функции меняется, а при переходе через корень чётной кратности (например, $(x-a)^2, (x-a)^4, \dots$) — не меняется.
5. Выбрать интервалы, которые удовлетворяют знаку исходного неравенства.

а)

Решим неравенство $(x - 1)^3 (x + 2)^2 (x - 4) > 0$.

1. Найдём нули левой части, решив уравнение $(x - 1)^3 (x + 2)^2 (x - 4) = 0$.

• $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (корень кратности 3, нечётная).
• $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ (корень кратности 2, чётная).
• $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ (корень кратности 1, нечётная).

2. Отметим на числовой оси точки -2, 1, 4. Так как неравенство строгое ($>0$), точки будут выколотыми.

3. Определим знак на крайнем правом интервале $(4, +\infty)$. Возьмём $x=5$:
$(5-1)^3(5+2)^2(5-4) = 4^3 \cdot 7^2 \cdot 1 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на остальных интервалах, двигаясь справа налево:

• Переходим через $x=4$ (нечётная кратность): знак меняется с «+» на «-». Интервал $(1, 4)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=1$ (нечётная кратность): знак меняется с «-» на «+». Интервал $(-2, 1)$ имеет знак «+».
• Переходим через $x=-2$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-\infty, -2)$ имеет знак «+».

Схема знаков: $(-\infty, -2): +$; $(-2, 1): +$; $(1, 4): -$; $(4, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»).

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (4, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(x - 3)^2 (x - 5)^3 (x + 1) < 0$.

1. Найдём нули: $x = 3$ (кратность 2, чётная), $x = 5$ (кратность 3, нечётная), $x = -1$ (кратность 1, нечётная).

2. Отметим на числовой оси выколотые точки -1, 3, 5.

3. Определим знак на интервале $(5, +\infty)$, взяв $x=6$:
$(6-3)^2(6-5)^3(6+1) = 3^2 \cdot 1^3 \cdot 7 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на интервалах:

• Переходим через $x=5$ (нечётная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(3, 5)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=3$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-1, 3)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=-1$ (нечётная кратность): знак меняется на «+». Интервал $(-\infty, -1)$ имеет знак «+».

Схема знаков: $(-\infty, -1): +$; $(-1, 3): -$; $(3, 5): -$; $(5, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»).

Ответ: $x \in (-1, 3) \cup (3, 5)$.

в)

Решим неравенство $(x + 3)(x + 4)^2 (x + 5)^3 < 0$.

1. Найдём нули: $x = -3$ (кратность 1, нечётная), $x = -4$ (кратность 2, чётная), $x = -5$ (кратность 3, нечётная).

2. Отметим на числовой оси выколотые точки -5, -4, -3.

3. Определим знак на интервале $(-3, +\infty)$, взяв $x=0$:
$(0+3)(0+4)^2(0+5)^3 = 3 \cdot 4^2 \cdot 5^3 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на интервалах:

• Переходим через $x=-3$ (нечётная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(-4, -3)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=-4$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-5, -4)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=-5$ (нечётная кратность): знак меняется на «+». Интервал $(-\infty, -5)$ имеет знак «+».

Схема знаков: $(-\infty, -5): +$; $(-5, -4): -$; $(-4, -3): -$; $(-3, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»).

Ответ: $x \in (-5, -4) \cup (-4, -3)$.

г)

Решим неравенство $(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3)^3 > 0$.

1. Найдём нули: $x = 1$ (кратность 1, нечётная), $x = 2$ (кратность 2, чётная), $x = 3$ (кратность 3, нечётная).

2. Отметим на числовой оси выколотые точки 1, 2, 3.

3. Определим знак на интервале $(3, +\infty)$, взяв $x=4$:
$(4-1)(4-2)^2(4-3)^3 = 3 \cdot 2^2 \cdot 1^3 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на интервалах:

• Переходим через $x=3$ (нечётная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(2, 3)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=2$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(1, 2)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=1$ (нечётная кратность): знак меняется на «+». Интервал $(-\infty, 1)$ имеет знак «+».

Схема знаков: $(-\infty, 1): +$; $(1, 2): -$; $(2, 3): -$; $(3, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»).

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

д)

Решим неравенство $(x + 5)^5 (x - 2)^2 (x + 4)^4 > 0$.

1. Найдём нули: $x = -5$ (кратность 5, нечётная), $x = 2$ (кратность 2, чётная), $x = -4$ (кратность 4, чётная).

2. Отметим на числовой оси выколотые точки -5, -4, 2.

3. Определим знак на интервале $(2, +\infty)$, взяв $x=3$:
$(3+5)^5(3-2)^2(3+4)^4 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на интервалах:

• Переходим через $x=2$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-4, 2)$ имеет знак «+».
• Переходим через $x=-4$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-5, -4)$ имеет знак «+».
• Переходим через $x=-5$ (нечётная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(-\infty, -5)$ имеет знак «-».

Схема знаков: $(-\infty, -5): -$; $(-5, -4): +$; $(-4, 2): +$; $(2, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»).

Ответ: $x \in (-5, -4) \cup (-4, 2) \cup (2, +\infty)$.

е)

Решим неравенство $(x + 4)^4 (x - 3)^3 (x + 2)^2 < 0$.

1. Найдём нули: $x = -4$ (кратность 4, чётная), $x = 3$ (кратность 3, нечётная), $x = -2$ (кратность 2, чётная).

2. Отметим на числовой оси выколотые точки -4, -2, 3.

3. Определим знак на интервале $(3, +\infty)$, взяв $x=4$:
$(4+4)^4(4-3)^3(4+2)^2 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на интервалах:

• Переходим через $x=3$ (нечётная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(-2, 3)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=-2$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-4, -2)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=-4$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-\infty, -4)$ имеет знак «-».

Схема знаков: $(-\infty, -4): -$; $(-4, -2): -$; $(-2, 3): -$; $(3, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»).

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -2) \cup (-2, 3)$.