Номер 2.64, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.8. Метод интервалов решения неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.64, страница 78.

2.64°

a) В чём заключается метод интервалов решения неравенств?

б) Какого вида неравенства решают этим методом?

а)

Метод интервалов (или метод промежутков) — это стандартный способ решения сложных неравенств, особенно рациональных. Его суть основана на свойстве непрерывной функции сохранять постоянный знак на каждом интервале, на которые числовая ось разбивается её нулями (точками, где функция равна нулю) и точками разрыва.

Алгоритм решения неравенства вида $f(x) > 0$ (или $<, \geq, \leq$) методом интервалов заключается в следующем:

1. Привести неравенство к виду $f(x) > 0$ (или $f(x) < 0$, $f(x) \geq 0$, $f(x) \leq 0$), перенеся все его члены в одну часть.
2. Найти область определения функции $f(x)$. Точки, не входящие в область определения (например, нули знаменателя для дробно-рациональной функции), являются точками разрыва.
3. Найти нули функции $f(x)$, то есть решить уравнение $f(x) = 0$.
4. Нанести на числовую ось нули функции и её точки разрыва. Эти точки разобьют ось на несколько интервалов. Точки разрыва всегда "выколотые", а нули функции "выколотые" для строгих неравенств ($>$ или $<$) и "закрашенные" для нестрогих ($\geq$ или $\leq$), если они входят в область определения.
5. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно взять любую "пробную" точку из интервала и подставить её в выражение $f(x)$. Знак результата и будет знаком функции на всем этом интервале. Часто, если функция представлена в виде произведения или частного множителей вида $(x-a)^k$, знаки на интервалах чередуются, за исключением случаев, когда корень имеет чётную кратность (то есть множитель $(x-a)^k$ возведен в четную степень). При переходе через такой корень знак функции не меняется.
6. Выбрать интервалы, на которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, для неравенства $f(x) > 0$ выбирают интервалы со знаком «+». Объединение этих интервалов и будет решением неравенства.

Ответ: Метод интервалов заключается в нахождении нулей и точек разрыва функции, стоящей в одной из частей неравенства (при условии, что в другой части — ноль), нанесении этих точек на числовую ось и определении знака функции на каждом из получившихся интервалов для выбора тех, которые удовлетворяют исходному неравенству.

б)

Метод интервалов чаще всего применяется для решения рациональных неравенств. Это неравенства вида:
$P(x) > 0$ или $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$
(а также с другими знаками: $<, \geq, \leq$), где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

В частности, этим методом решают:

• Целые рациональные (многочленные) неравенства, когда левая часть является многочленом, разложенным на множители. Например:
  $(x-1)(x+3)(x-5) < 0$
• Квадратные неравенства (как частный случай многочленных):
  $ax^2 + bx + c \geq 0$
• Дробно-рациональные неравенства, когда левая часть представляет собой отношение двух многочленов. Например:
  $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} \leq 0$

Также метод интервалов можно применять для решения более сложных неравенств, включающих иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции, если их удаётся свести к анализу знака непрерывной функции $f(x)$. Главное условие — возможность найти все точки, в которых функция $f(x)$ обращается в ноль или терпит разрыв.

Ответ: Этим методом решают в основном рациональные неравенства (целые и дробно-рациональные), а также некоторые другие виды неравенств, которые можно свести к анализу знака функции на интервалах.