Номер 2.70, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.8. Метод интервалов решения неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.70, страница 79.

2.70* По плану предыдущего задания решите неравенство:

а) $(x + 3)^2 (x + 1)(x - 2) > 0;$

б) $(x + 4)(x + 2)(x - 3)^2 < 0;$

в) $(x + 5)^2 (x + 3)(x - 3) < 0;$

г) $(x + 2)^2 (x + 5)(x - 5)^2 > 0;$

д) $(x^2 - 4)(x - 1)^2 > 0;$

е) $(x^2 - 9)(x + 2)^2 < 0.$

а) Решим неравенство $(x + 3)^2 (x + 1)(x - 2) > 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 3)^2 (x + 1)(x - 2)$.
$x_1 = -3$ (корень кратности 2, т.е. чётной кратности).
$x_2 = -1$ (корень кратности 1, т.е. нечётной кратности).
$x_3 = 2$ (корень кратности 1, т.е. нечётной кратности).
2. Отметим найденные нули на числовой оси. Так как неравенство строгое ($> 0$), все точки будут выколотыми.
3. Определим знаки функции на полученных интервалах. При переходе через корень чётной кратности ($x=-3$) знак функции не меняется. При переходе через корни нечётной кратности ($x=-1$ и $x=2$) знак функции меняется на противоположный.
Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(2, +\infty)$, например $x=3$.
$f(3) = (3 + 3)^2 (3 + 1)(3 - 2) = 36 \cdot 4 \cdot 1 > 0$.
Двигаясь справа налево, расставим знаки: + на $(2, +\infty)$, - на $(-1, 2)$, + на $(-3, -1)$, + на $(-\infty, -3)$.
4. Нам нужны интервалы, где $f(x) > 0$. Это $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$ и $(2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -1) \cup (2, +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x + 4)(x + 2)(x - 3)^2 < 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 4)(x + 2)(x - 3)^2$.
$x_1 = -4$ (нечётная кратность).
$x_2 = -2$ (нечётная кратность).
$x_3 = 3$ (чётная кратность).
2. Отметим нули на числовой оси (все точки выколотые).
3. Определим знаки. При переходе через $x=3$ знак не меняется, а при переходе через $x=-2$ и $x=-4$ — меняется.
Пробная точка $x=4$: $f(4) = (4+4)(4+2)(4-3)^2 > 0$.
Знаки на интервалах: + на $(3, +\infty)$, + на $(-2, 3)$, - на $(-4, -2)$, + на $(-\infty, -4)$.
4. Нам нужны интервалы, где $f(x) < 0$. Это $(-4, -2)$.
Ответ: $x \in (-4, -2)$.

в) Решим неравенство $(x + 5)^2 (x + 3)(x - 3) < 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 5)^2 (x + 3)(x - 3)$.
$x_1 = -5$ (чётная кратность).
$x_2 = -3$ (нечётная кратность).
$x_3 = 3$ (нечётная кратность).
2. Отметим нули на числовой оси (все точки выколотые).
3. Определим знаки. При переходе через $x=-5$ знак не меняется, а при переходе через $x=-3$ и $x=3$ — меняется.
Пробная точка $x=4$: $f(4) = (4+5)^2(4+3)(4-3) > 0$.
Знаки на интервалах: + на $(3, +\infty)$, - на $(-3, 3)$, + на $(-5, -3)$, + на $(-\infty, -5)$.
4. Нам нужны интервалы, где $f(x) < 0$. Это $(-3, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, 3)$.

г) Решим неравенство $(x + 2)^2 (x + 5)(x - 5)^2 > 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 2)^2 (x + 5)(x - 5)^2$.
$x_1 = -5$ (нечётная кратность).
$x_2 = -2$ (чётная кратность).
$x_3 = 5$ (чётная кратность).
2. Отметим нули на числовой оси (все точки выколотые).
3. Определим знаки. При переходе через $x=-2$ и $x=5$ знак не меняется, а при переходе через $x=-5$ — меняется.
Пробная точка $x=6$: $f(6) = (6+2)^2(6+5)(6-5)^2 > 0$.
Знаки на интервалах: + на $(5, +\infty)$, + на $(-2, 5)$, + на $(-5, -2)$, - на $(-\infty, -5)$.
4. Нам нужны интервалы, где $f(x) > 0$. Это $(-5, -2)$, $(-2, 5)$ и $(5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5, -2) \cup (-2, 5) \cup (5, +\infty)$.

д) Решим неравенство $(x^2 - 4)(x - 1)^2 > 0$.
1. Разложим на множители левую часть: $(x-2)(x+2)(x-1)^2 > 0$.
2. Найдём нули функции $f(x) = (x-2)(x+2)(x-1)^2$.
$x_1 = -2$ (нечётная кратность).
$x_2 = 1$ (чётная кратность).
$x_3 = 2$ (нечётная кратность).
3. Отметим нули на числовой оси (все точки выколотые).
4. Определим знаки. При переходе через $x=1$ знак не меняется, а при переходе через $x=-2$ и $x=2$ — меняется.
Пробная точка $x=3$: $f(3) = (3-2)(3+2)(3-1)^2 > 0$.
Знаки на интервалах: + на $(2, +\infty)$, - на $(1, 2)$, - на $(-2, 1)$, + на $(-\infty, -2)$.
5. Нам нужны интервалы, где $f(x) > 0$. Это $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

е) Решим неравенство $(x^2 - 9)(x + 2)^2 < 0$.
1. Разложим на множители левую часть: $(x-3)(x+3)(x+2)^2 < 0$.
2. Найдём нули функции $f(x) = (x-3)(x+3)(x+2)^2$.
$x_1 = -3$ (нечётная кратность).
$x_2 = -2$ (чётная кратность).
$x_3 = 3$ (нечётная кратность).
3. Отметим нули на числовой оси (все точки выколотые).
4. Определим знаки. При переходе через $x=-2$ знак не меняется, а при переходе через $x=-3$ и $x=3$ — меняется.
Пробная точка $x=4$: $f(4) = (4-3)(4+3)(4+2)^2 > 0$.
Знаки на интервалах: + на $(3, +\infty)$, - на $(-2, 3)$, - на $(-3, -2)$, + на $(-\infty, -3)$.
5. Нам нужны интервалы, где $f(x) < 0$. Это $(-3, -2)$ и $(-2, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 3)$.