Номер 2.72, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.8. Метод интервалов решения неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.72, страница 79.

2.72* Решите неравенство:

а) $ (x^2 - 4)(x^2 - 5x + 6) > 0; $

б) $ (x^2 - 1)(x^2 - 5x + 4) < 0; $

в) $ (x^2 - 7x - 8)(x^2 + 3x + 2) > 0; $

г) $ (x^2 - 5x + 6)(x^2 - 3x + 2) < 0; $

д) $ x^3 + x^2 - 8x - 12 > 0; $

е) $ x^3 - 4x^2 - 3x + 18 < 0; $

ж) $ x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 20x + 24 > 0; $

з) $ x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6 < 0; $

и) $ (x^2 + 2x + 2)(x - 3)(x + 4) > 0; $

к) $ (x^2 + x + 3)(x + 3)(x - 4) < 0. $

а)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 - 5x + 6) > 0$.

Разложим каждый множитель на более простые.

Первый множитель, $x^2 - 4$, является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Второй множитель, $x^2 - 5x + 6$, разложим, найдя корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Таким образом, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:

$(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x - 3) > 0$

$(x - 2)^2 (x + 2)(x - 3) > 0$

Выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x = 2$. Для выполнения строгого неравенства ($> 0$), необходимо, чтобы $x \neq 2$. При $x \neq 2$, множитель $(x - 2)^2$ всегда положителен, и мы можем разделить на него неравенство, не меняя знака.

Получаем неравенство $(x + 2)(x - 3) > 0$ при условии $x \neq 2$.

Решим неравенство $(x + 2)(x - 3) > 0$ методом интервалов. Корни множителей: $x = -2$ и $x = 3$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$ и $(3, \infty)$.

Определим знак левой части на каждом интервале. Вне корней $(-2, 3)$ выражение положительно. Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Условие $x \neq 2$ уже выполняется, так как точка $x=2$ не входит в полученное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

б)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 1)(x^2 - 5x + 4) < 0$.

Разложим множители:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Для $x^2 - 5x + 4 = 0$ корни по теореме Виета $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x - 4) < 0$

$(x - 1)^2 (x + 1)(x - 4) < 0$

Множитель $(x - 1)^2$ положителен при $x \neq 1$ и равен нулю при $x = 1$. Так как неравенство строгое ($< 0$), то $x \neq 1$.

При $x \neq 1$ мы можем разделить неравенство на $(x - 1)^2$, сохранив знак. Получим $(x + 1)(x - 4) < 0$.

Решая методом интервалов, находим, что это неравенство выполняется для $x \in (-1, 4)$.

Теперь нужно учесть условие $x \neq 1$. Исключаем точку $x=1$ из интервала $(-1, 4)$.

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (1, 4)$.

в)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 7x - 8)(x^2 + 3x + 2) > 0$.

Разложим на множители каждый квадратный трехчлен.

Для $x^2 - 7x - 8 = 0$, корни $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2}$, то есть $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$. Таким образом, $x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)$.

Для $x^2 + 3x + 2 = 0$, по теореме Виета корни $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 8)(x + 1)(x + 1)(x + 2) > 0$

$(x + 1)^2 (x - 8)(x + 2) > 0$

При $x \neq -1$ множитель $(x + 1)^2$ положителен. Неравенство сводится к $(x - 8)(x + 2) > 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (8, \infty)$.

Условие $x \neq -1$ выполняется, так как эта точка не входит в найденные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (8, \infty)$.

г)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 3x + 2) < 0$.

Разложим множители:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Для $x^2 - 3x + 2 = 0$, по теореме Виета корни $x_1 = 1, x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 2)(x - 3)(x - 1)(x - 2) < 0$

$(x - 2)^2 (x - 1)(x - 3) < 0$

При $x \neq 2$ множитель $(x - 2)^2$ положителен. Неравенство сводится к $(x - 1)(x - 3) < 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (1, 3)$.

Учитывая условие $x \neq 2$, исключаем эту точку из интервала.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$.

д)

Рассмотрим неравенство $x^3 + x^2 - 8x - 12 > 0$.

Разложим многочлен $P(x) = x^3 + x^2 - 8x - 12$ на множители. Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена -12.

Проверкой находим корень $x = -2$: $P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 12 = -8 + 4 + 16 - 12 = 0$.

Проверкой находим корень $x = 3$: $P(3) = 3^3 + 3^2 - 8(3) - 12 = 27 + 9 - 24 - 12 = 0$.

Так как мы нашли два корня, можно найти и третий. Сумма корней кубического уравнения $x_1+x_2+x_3 = -1$. Так как $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$, то $-2+3+x_3 = -1$, откуда $1+x_3 = -1$, $x_3 = -2$.

Значит, многочлен имеет корни -2 (кратности 2) и 3. Его разложение: $(x - 3)(x + 2)^2$.

Неравенство принимает вид $(x + 2)^2 (x - 3) > 0$.

При $x \neq -2$ множитель $(x + 2)^2$ положителен. Неравенство сводится к $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$.

Интервал $(3, \infty)$ не содержит точку $x=-2$, поэтому дополнительно ничего исключать не нужно.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.

е)

Рассмотрим неравенство $x^3 - 4x^2 - 3x + 18 < 0$.

Разложим многочлен $P(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 18$ на множители. Ищем целочисленные корни среди делителей числа 18.

Проверкой находим корень $x = -2$: $P(-2) = (-2)^3 - 4(-2)^2 - 3(-2) + 18 = -8 - 16 + 6 + 18 = 0$.

Разделим многочлен на $(x + 2)$:

$(x^3 - 4x^2 - 3x + 18) : (x + 2) = x^2 - 6x + 9$.

Выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом: $(x - 3)^2$.

Таким образом, разложение многочлена: $(x + 2)(x - 3)^2$.

Неравенство принимает вид $(x + 2)(x - 3)^2 < 0$.

При $x \neq 3$ множитель $(x - 3)^2$ положителен. Неравенство сводится к $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.

Интервал $(-\infty, -2)$ не содержит точку $x=3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

ж)

Рассмотрим неравенство $x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 20x + 24 > 0$.

Разложим многочлен $P(x) = x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 20x + 24$ на множители. Все коэффициенты положительны, значит, положительных корней нет. Ищем отрицательные корни среди делителей 24.

$P(-2) = 16 - 40 + 40 - 40 + 24 = 0$.

$P(-3) = 81 - 135 + 90 - 60 + 24 = 0$.

Значит, $(x+2)$ и $(x+3)$ являются множителями, а следовательно, и их произведение $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$ тоже является множителем. Разделим исходный многочлен на $x^2 + 5x + 6$:

$(x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 20x + 24) : (x^2 + 5x + 6) = x^2 + 4$.

Разложение: $(x^2 + 5x + 6)(x^2 + 4) = (x+2)(x+3)(x^2+4)$.

Неравенство принимает вид $(x+2)(x+3)(x^2+4) > 0$.

Множитель $x^2 + 4$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+4 \ge 4$. Можем разделить на него неравенство, не меняя знака.

Получаем $(x+2)(x+3) > 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty)$.

з)

Рассмотрим неравенство $x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6 < 0$.

Разложим многочлен $P(x) = x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6$ на множители. Ищем целочисленные корни среди делителей -6.

$P(-2) = 16 - (-8) - 5(4) - (-2) - 6 = 16 + 8 - 20 + 2 - 6 = 0$.

$P(3) = 81 - 27 - 5(9) - 3 - 6 = 81 - 27 - 45 - 3 - 6 = 0$.

Значит, множителями являются $(x+2)$ и $(x-3)$, а также их произведение $(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$. Разделим исходный многочлен на $x^2 - x - 6$:

$(x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6) : (x^2 - x - 6) = x^2 + 1$.

Разложение: $(x^2 - x - 6)(x^2 + 1) = (x-3)(x+2)(x^2+1)$.

Неравенство принимает вид $(x-3)(x+2)(x^2+1) < 0$.

Множитель $x^2 + 1$ всегда положителен. Разделив на него, получаем $(x-3)(x+2) < 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

и)

Рассмотрим неравенство $(x^2 + 2x + 2)(x - 3)(x + 4) > 0$.

Проанализируем множитель $x^2 + 2x + 2$. Найдем его дискриминант: $D = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то парабола $y = x^2 + 2x + 2$ целиком лежит выше оси абсцисс, то есть выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда положительно.

Мы можем разделить неравенство на этот положительный множитель, не меняя знака:

$(x - 3)(x + 4) > 0$.

Корни левой части: $x = 3$ и $x = -4$. Методом интервалов получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.

к)

Рассмотрим неравенство $(x^2 + x + 3)(x + 3)(x - 4) < 0$.

Проанализируем множитель $x^2 + x + 3$. Найдем его дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + x + 3$ всегда положительно.

Разделим неравенство на этот положительный множитель, не меняя знака:

$(x + 3)(x - 4) < 0$.

Корни левой части: $x = -3$ и $x = 4$. Методом интервалов получаем решение.

Ответ: $x \in (-3, 4)$.