Страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.69* Найдите все числа $x$, для каждого из которых

$(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3) = 0.$

Изобразите эти числа на координатной оси. Определите знак произведения $(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3)$ на каждом из полученных интервалов. Укажите все значения $x$, для которых:

a) $(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3) > 0;$

б) $(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3) < 0.$

Сначала найдем все числа $x$, для которых произведение равно нулю. Уравнение $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) = 0$ выполняется в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$(x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_3 = 3$

Таким образом, корни уравнения: $1, 2, 3$.

Теперь изобразим эти числа на координатной оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак произведения $f(x) = (x - 1)(x - 2)^2(x - 3)$ на каждом из этих интервалов, используя метод интервалов.

Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен (он равен нулю при $x=2$ и положителен при всех остальных $x$). Следовательно, при $x \ne 2$ этот множитель не влияет на знак всего выражения. Знак произведения определяется знаками множителей $(x - 1)$ и $(x - 3)$.

Проанализируем знаки, двигаясь по координатной оси справа налево:

1. На интервале $(3; +\infty)$, например, при $x=4$, все множители $(x-1)$, $(x-2)^2$ и $(x-3)$ положительны, значит, произведение имеет знак +.

2. При переходе через корень $x=3$ (корень нечетной кратности 1), знак произведения меняется. Таким образом, на интервале $(2; 3)$ знак будет -.

3. При переходе через корень $x=2$ (корень четной кратности 2), знак произведения не меняется. Таким образом, на интервале $(1; 2)$ знак также будет -.

4. При переходе через корень $x=1$ (корень нечетной кратности 1), знак произведения снова меняется. Таким образом, на интервале $(-\infty; 1)$ знак будет +.

Итак, знаки на интервалах: $(-\infty; 1):$ +, $(1; 2):$ -, $(2; 3):$ -, $(3; +\infty):$ +.

Теперь решим неравенства:

а) $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) > 0$

Неравенство строгое, значит, мы ищем значения $x$, при которых произведение положительно. Исходя из анализа знаков, это происходит на интервалах, где стоит знак +.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

б) $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) < 0$

Неравенство строгое, значит, мы ищем значения $x$, при которых произведение отрицательно. Это происходит на интервалах, где стоит знак -. Важно отметить, что точка $x=2$ не входит в решение, так как в ней произведение равно нулю, а не меньше нуля.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; 3)$.

2.70* По плану предыдущего задания решите неравенство:

а) $(x + 3)^2 (x + 1)(x - 2) > 0;$

б) $(x + 4)(x + 2)(x - 3)^2 < 0;$

в) $(x + 5)^2 (x + 3)(x - 3) < 0;$

г) $(x + 2)^2 (x + 5)(x - 5)^2 > 0;$

д) $(x^2 - 4)(x - 1)^2 > 0;$

е) $(x^2 - 9)(x + 2)^2 < 0.$

а) Решим неравенство $(x + 3)^2 (x + 1)(x - 2) > 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 3)^2 (x + 1)(x - 2)$.
$x_1 = -3$ (корень кратности 2, т.е. чётной кратности).
$x_2 = -1$ (корень кратности 1, т.е. нечётной кратности).
$x_3 = 2$ (корень кратности 1, т.е. нечётной кратности).
2. Отметим найденные нули на числовой оси. Так как неравенство строгое ($> 0$), все точки будут выколотыми.
3. Определим знаки функции на полученных интервалах. При переходе через корень чётной кратности ($x=-3$) знак функции не меняется. При переходе через корни нечётной кратности ($x=-1$ и $x=2$) знак функции меняется на противоположный.
Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(2, +\infty)$, например $x=3$.
$f(3) = (3 + 3)^2 (3 + 1)(3 - 2) = 36 \cdot 4 \cdot 1 > 0$.
Двигаясь справа налево, расставим знаки: + на $(2, +\infty)$, - на $(-1, 2)$, + на $(-3, -1)$, + на $(-\infty, -3)$.
4. Нам нужны интервалы, где $f(x) > 0$. Это $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$ и $(2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -1) \cup (2, +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x + 4)(x + 2)(x - 3)^2 < 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 4)(x + 2)(x - 3)^2$.
$x_1 = -4$ (нечётная кратность).
$x_2 = -2$ (нечётная кратность).
$x_3 = 3$ (чётная кратность).
2. Отметим нули на числовой оси (все точки выколотые).
3. Определим знаки. При переходе через $x=3$ знак не меняется, а при переходе через $x=-2$ и $x=-4$ — меняется.
Пробная точка $x=4$: $f(4) = (4+4)(4+2)(4-3)^2 > 0$.
Знаки на интервалах: + на $(3, +\infty)$, + на $(-2, 3)$, - на $(-4, -2)$, + на $(-\infty, -4)$.
4. Нам нужны интервалы, где $f(x) < 0$. Это $(-4, -2)$.
Ответ: $x \in (-4, -2)$.

в) Решим неравенство $(x + 5)^2 (x + 3)(x - 3) < 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 5)^2 (x + 3)(x - 3)$.
$x_1 = -5$ (чётная кратность).
$x_2 = -3$ (нечётная кратность).
$x_3 = 3$ (нечётная кратность).
2. Отметим нули на числовой оси (все точки выколотые).
3. Определим знаки. При переходе через $x=-5$ знак не меняется, а при переходе через $x=-3$ и $x=3$ — меняется.
Пробная точка $x=4$: $f(4) = (4+5)^2(4+3)(4-3) > 0$.
Знаки на интервалах: + на $(3, +\infty)$, - на $(-3, 3)$, + на $(-5, -3)$, + на $(-\infty, -5)$.
4. Нам нужны интервалы, где $f(x) < 0$. Это $(-3, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, 3)$.

г) Решим неравенство $(x + 2)^2 (x + 5)(x - 5)^2 > 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 2)^2 (x + 5)(x - 5)^2$.
$x_1 = -5$ (нечётная кратность).
$x_2 = -2$ (чётная кратность).
$x_3 = 5$ (чётная кратность).
2. Отметим нули на числовой оси (все точки выколотые).
3. Определим знаки. При переходе через $x=-2$ и $x=5$ знак не меняется, а при переходе через $x=-5$ — меняется.
Пробная точка $x=6$: $f(6) = (6+2)^2(6+5)(6-5)^2 > 0$.
Знаки на интервалах: + на $(5, +\infty)$, + на $(-2, 5)$, + на $(-5, -2)$, - на $(-\infty, -5)$.
4. Нам нужны интервалы, где $f(x) > 0$. Это $(-5, -2)$, $(-2, 5)$ и $(5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5, -2) \cup (-2, 5) \cup (5, +\infty)$.

д) Решим неравенство $(x^2 - 4)(x - 1)^2 > 0$.
1. Разложим на множители левую часть: $(x-2)(x+2)(x-1)^2 > 0$.
2. Найдём нули функции $f(x) = (x-2)(x+2)(x-1)^2$.
$x_1 = -2$ (нечётная кратность).
$x_2 = 1$ (чётная кратность).
$x_3 = 2$ (нечётная кратность).
3. Отметим нули на числовой оси (все точки выколотые).
4. Определим знаки. При переходе через $x=1$ знак не меняется, а при переходе через $x=-2$ и $x=2$ — меняется.
Пробная точка $x=3$: $f(3) = (3-2)(3+2)(3-1)^2 > 0$.
Знаки на интервалах: + на $(2, +\infty)$, - на $(1, 2)$, - на $(-2, 1)$, + на $(-\infty, -2)$.
5. Нам нужны интервалы, где $f(x) > 0$. Это $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

е) Решим неравенство $(x^2 - 9)(x + 2)^2 < 0$.
1. Разложим на множители левую часть: $(x-3)(x+3)(x+2)^2 < 0$.
2. Найдём нули функции $f(x) = (x-3)(x+3)(x+2)^2$.
$x_1 = -3$ (нечётная кратность).
$x_2 = -2$ (чётная кратность).
$x_3 = 3$ (нечётная кратность).
3. Отметим нули на числовой оси (все точки выколотые).
4. Определим знаки. При переходе через $x=-2$ знак не меняется, а при переходе через $x=-3$ и $x=3$ — меняется.
Пробная точка $x=4$: $f(4) = (4-3)(4+3)(4+2)^2 > 0$.
Знаки на интервалах: + на $(3, +\infty)$, - на $(-2, 3)$, - на $(-3, -2)$, + на $(-\infty, -3)$.
5. Нам нужны интервалы, где $f(x) < 0$. Это $(-3, -2)$ и $(-2, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 3)$.

2.71* Решите неравенство с помощью общего метода интервалов:

а) $(x - 1)^3 (x + 2)^2 (x - 4) > 0;$

б) $(x - 3)^2 (x - 5)^3 (x + 1) < 0;$

в) $(x + 3) (x + 4)^2 (x + 5)^3 < 0;$

г) $(x - 1) (x - 2)^2 (x - 3)^3 > 0;$

д) $(x + 5)^5 (x - 2)^2 (x + 4)^4 > 0;$

е) $(x + 4)^4 (x - 3)^3 (x + 2)^2 < 0.$

Общий метод интервалов для решения неравенств вида $f(x) > 0$ (или $<, \geq, \leq$) заключается в следующем:

1. Найти все корни (нули) функции $f(x)$, то есть решить уравнение $f(x)=0$.
2. Отметить найденные корни на числовой оси. Они разобьют ось на интервалы.
3. Определить знак функции $f(x)$ в каждом из интервалов. Для этого достаточно взять любую точку из интервала и подставить её в выражение для $f(x)$.
4. Учесть кратность корней: при переходе через корень нечётной кратности (например, $(x-a)^1, (x-a)^3, \dots$) знак функции меняется, а при переходе через корень чётной кратности (например, $(x-a)^2, (x-a)^4, \dots$) — не меняется.
5. Выбрать интервалы, которые удовлетворяют знаку исходного неравенства.

Решим неравенство $(x - 1)^3 (x + 2)^2 (x - 4) > 0$.

1. Найдём нули левой части, решив уравнение $(x - 1)^3 (x + 2)^2 (x - 4) = 0$.

• $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (корень кратности 3, нечётная).
• $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ (корень кратности 2, чётная).
• $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ (корень кратности 1, нечётная).

2. Отметим на числовой оси точки -2, 1, 4. Так как неравенство строгое ($>0$), точки будут выколотыми.

3. Определим знак на крайнем правом интервале $(4, +\infty)$. Возьмём $x=5$:
$(5-1)^3(5+2)^2(5-4) = 4^3 \cdot 7^2 \cdot 1 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на остальных интервалах, двигаясь справа налево:

• Переходим через $x=4$ (нечётная кратность): знак меняется с «+» на «-». Интервал $(1, 4)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=1$ (нечётная кратность): знак меняется с «-» на «+». Интервал $(-2, 1)$ имеет знак «+».
• Переходим через $x=-2$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-\infty, -2)$ имеет знак «+».

Схема знаков: $(-\infty, -2): +$; $(-2, 1): +$; $(1, 4): -$; $(4, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»).

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (4, +\infty)$.

Решим неравенство $(x - 3)^2 (x - 5)^3 (x + 1) < 0$.

1. Найдём нули: $x = 3$ (кратность 2, чётная), $x = 5$ (кратность 3, нечётная), $x = -1$ (кратность 1, нечётная).

2. Отметим на числовой оси выколотые точки -1, 3, 5.

3. Определим знак на интервале $(5, +\infty)$, взяв $x=6$:
$(6-3)^2(6-5)^3(6+1) = 3^2 \cdot 1^3 \cdot 7 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на интервалах:

• Переходим через $x=5$ (нечётная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(3, 5)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=3$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-1, 3)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=-1$ (нечётная кратность): знак меняется на «+». Интервал $(-\infty, -1)$ имеет знак «+».

Схема знаков: $(-\infty, -1): +$; $(-1, 3): -$; $(3, 5): -$; $(5, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»).

Ответ: $x \in (-1, 3) \cup (3, 5)$.

Решим неравенство $(x + 3)(x + 4)^2 (x + 5)^3 < 0$.

1. Найдём нули: $x = -3$ (кратность 1, нечётная), $x = -4$ (кратность 2, чётная), $x = -5$ (кратность 3, нечётная).

2. Отметим на числовой оси выколотые точки -5, -4, -3.

3. Определим знак на интервале $(-3, +\infty)$, взяв $x=0$:
$(0+3)(0+4)^2(0+5)^3 = 3 \cdot 4^2 \cdot 5^3 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на интервалах:

• Переходим через $x=-3$ (нечётная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(-4, -3)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=-4$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-5, -4)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=-5$ (нечётная кратность): знак меняется на «+». Интервал $(-\infty, -5)$ имеет знак «+».

Схема знаков: $(-\infty, -5): +$; $(-5, -4): -$; $(-4, -3): -$; $(-3, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»).

Ответ: $x \in (-5, -4) \cup (-4, -3)$.

Решим неравенство $(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3)^3 > 0$.

1. Найдём нули: $x = 1$ (кратность 1, нечётная), $x = 2$ (кратность 2, чётная), $x = 3$ (кратность 3, нечётная).

2. Отметим на числовой оси выколотые точки 1, 2, 3.

3. Определим знак на интервале $(3, +\infty)$, взяв $x=4$:
$(4-1)(4-2)^2(4-3)^3 = 3 \cdot 2^2 \cdot 1^3 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на интервалах:

• Переходим через $x=3$ (нечётная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(2, 3)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=2$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(1, 2)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=1$ (нечётная кратность): знак меняется на «+». Интервал $(-\infty, 1)$ имеет знак «+».

Схема знаков: $(-\infty, 1): +$; $(1, 2): -$; $(2, 3): -$; $(3, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»).

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

Решим неравенство $(x + 5)^5 (x - 2)^2 (x + 4)^4 > 0$.

1. Найдём нули: $x = -5$ (кратность 5, нечётная), $x = 2$ (кратность 2, чётная), $x = -4$ (кратность 4, чётная).

2. Отметим на числовой оси выколотые точки -5, -4, 2.

3. Определим знак на интервале $(2, +\infty)$, взяв $x=3$:
$(3+5)^5(3-2)^2(3+4)^4 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на интервалах:

• Переходим через $x=2$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-4, 2)$ имеет знак «+».
• Переходим через $x=-4$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-5, -4)$ имеет знак «+».
• Переходим через $x=-5$ (нечётная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(-\infty, -5)$ имеет знак «-».

Схема знаков: $(-\infty, -5): -$; $(-5, -4): +$; $(-4, 2): +$; $(2, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»).

Ответ: $x \in (-5, -4) \cup (-4, 2) \cup (2, +\infty)$.

Решим неравенство $(x + 4)^4 (x - 3)^3 (x + 2)^2 < 0$.

1. Найдём нули: $x = -4$ (кратность 4, чётная), $x = 3$ (кратность 3, нечётная), $x = -2$ (кратность 2, чётная).

2. Отметим на числовой оси выколотые точки -4, -2, 3.

3. Определим знак на интервале $(3, +\infty)$, взяв $x=4$:
$(4+4)^4(4-3)^3(4+2)^2 > 0$. Знак «+».

4. Расставим знаки на интервалах:

• Переходим через $x=3$ (нечётная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(-2, 3)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=-2$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-4, -2)$ имеет знак «-».
• Переходим через $x=-4$ (чётная кратность): знак не меняется. Интервал $(-\infty, -4)$ имеет знак «-».

Схема знаков: $(-\infty, -4): -$; $(-4, -2): -$; $(-2, 3): -$; $(3, +\infty): +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»).

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -2) \cup (-2, 3)$.

2.72* Решите неравенство:

а) $ (x^2 - 4)(x^2 - 5x + 6) > 0; $

б) $ (x^2 - 1)(x^2 - 5x + 4) < 0; $

в) $ (x^2 - 7x - 8)(x^2 + 3x + 2) > 0; $

г) $ (x^2 - 5x + 6)(x^2 - 3x + 2) < 0; $

д) $ x^3 + x^2 - 8x - 12 > 0; $

е) $ x^3 - 4x^2 - 3x + 18 < 0; $

ж) $ x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 20x + 24 > 0; $

з) $ x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6 < 0; $

и) $ (x^2 + 2x + 2)(x - 3)(x + 4) > 0; $

к) $ (x^2 + x + 3)(x + 3)(x - 4) < 0. $

а)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 - 5x + 6) > 0$.

Разложим каждый множитель на более простые.

Первый множитель, $x^2 - 4$, является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Второй множитель, $x^2 - 5x + 6$, разложим, найдя корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Таким образом, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:

$(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x - 3) > 0$

$(x - 2)^2 (x + 2)(x - 3) > 0$

Выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x = 2$. Для выполнения строгого неравенства ($> 0$), необходимо, чтобы $x \neq 2$. При $x \neq 2$, множитель $(x - 2)^2$ всегда положителен, и мы можем разделить на него неравенство, не меняя знака.

Получаем неравенство $(x + 2)(x - 3) > 0$ при условии $x \neq 2$.

Решим неравенство $(x + 2)(x - 3) > 0$ методом интервалов. Корни множителей: $x = -2$ и $x = 3$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$ и $(3, \infty)$.

Определим знак левой части на каждом интервале. Вне корней $(-2, 3)$ выражение положительно. Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Условие $x \neq 2$ уже выполняется, так как точка $x=2$ не входит в полученное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

б)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 1)(x^2 - 5x + 4) < 0$.

Разложим множители:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Для $x^2 - 5x + 4 = 0$ корни по теореме Виета $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x - 4) < 0$

$(x - 1)^2 (x + 1)(x - 4) < 0$

Множитель $(x - 1)^2$ положителен при $x \neq 1$ и равен нулю при $x = 1$. Так как неравенство строгое ($< 0$), то $x \neq 1$.

При $x \neq 1$ мы можем разделить неравенство на $(x - 1)^2$, сохранив знак. Получим $(x + 1)(x - 4) < 0$.

Решая методом интервалов, находим, что это неравенство выполняется для $x \in (-1, 4)$.

Теперь нужно учесть условие $x \neq 1$. Исключаем точку $x=1$ из интервала $(-1, 4)$.

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (1, 4)$.

в)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 7x - 8)(x^2 + 3x + 2) > 0$.

Разложим на множители каждый квадратный трехчлен.

Для $x^2 - 7x - 8 = 0$, корни $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2}$, то есть $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$. Таким образом, $x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)$.

Для $x^2 + 3x + 2 = 0$, по теореме Виета корни $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 8)(x + 1)(x + 1)(x + 2) > 0$

$(x + 1)^2 (x - 8)(x + 2) > 0$

При $x \neq -1$ множитель $(x + 1)^2$ положителен. Неравенство сводится к $(x - 8)(x + 2) > 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (8, \infty)$.

Условие $x \neq -1$ выполняется, так как эта точка не входит в найденные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (8, \infty)$.

г)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 3x + 2) < 0$.

Разложим множители:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Для $x^2 - 3x + 2 = 0$, по теореме Виета корни $x_1 = 1, x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 2)(x - 3)(x - 1)(x - 2) < 0$

$(x - 2)^2 (x - 1)(x - 3) < 0$

При $x \neq 2$ множитель $(x - 2)^2$ положителен. Неравенство сводится к $(x - 1)(x - 3) < 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (1, 3)$.

Учитывая условие $x \neq 2$, исключаем эту точку из интервала.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$.

д)

Рассмотрим неравенство $x^3 + x^2 - 8x - 12 > 0$.

Разложим многочлен $P(x) = x^3 + x^2 - 8x - 12$ на множители. Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена -12.

Проверкой находим корень $x = -2$: $P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 12 = -8 + 4 + 16 - 12 = 0$.

Проверкой находим корень $x = 3$: $P(3) = 3^3 + 3^2 - 8(3) - 12 = 27 + 9 - 24 - 12 = 0$.

Так как мы нашли два корня, можно найти и третий. Сумма корней кубического уравнения $x_1+x_2+x_3 = -1$. Так как $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$, то $-2+3+x_3 = -1$, откуда $1+x_3 = -1$, $x_3 = -2$.

Значит, многочлен имеет корни -2 (кратности 2) и 3. Его разложение: $(x - 3)(x + 2)^2$.

Неравенство принимает вид $(x + 2)^2 (x - 3) > 0$.

При $x \neq -2$ множитель $(x + 2)^2$ положителен. Неравенство сводится к $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$.

Интервал $(3, \infty)$ не содержит точку $x=-2$, поэтому дополнительно ничего исключать не нужно.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.

е)

Рассмотрим неравенство $x^3 - 4x^2 - 3x + 18 < 0$.

Разложим многочлен $P(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 18$ на множители. Ищем целочисленные корни среди делителей числа 18.

Проверкой находим корень $x = -2$: $P(-2) = (-2)^3 - 4(-2)^2 - 3(-2) + 18 = -8 - 16 + 6 + 18 = 0$.

Разделим многочлен на $(x + 2)$:

$(x^3 - 4x^2 - 3x + 18) : (x + 2) = x^2 - 6x + 9$.

Выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом: $(x - 3)^2$.

Таким образом, разложение многочлена: $(x + 2)(x - 3)^2$.

Неравенство принимает вид $(x + 2)(x - 3)^2 < 0$.

При $x \neq 3$ множитель $(x - 3)^2$ положителен. Неравенство сводится к $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.

Интервал $(-\infty, -2)$ не содержит точку $x=3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

ж)

Рассмотрим неравенство $x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 20x + 24 > 0$.

Разложим многочлен $P(x) = x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 20x + 24$ на множители. Все коэффициенты положительны, значит, положительных корней нет. Ищем отрицательные корни среди делителей 24.

$P(-2) = 16 - 40 + 40 - 40 + 24 = 0$.

$P(-3) = 81 - 135 + 90 - 60 + 24 = 0$.

Значит, $(x+2)$ и $(x+3)$ являются множителями, а следовательно, и их произведение $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$ тоже является множителем. Разделим исходный многочлен на $x^2 + 5x + 6$:

$(x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 20x + 24) : (x^2 + 5x + 6) = x^2 + 4$.

Разложение: $(x^2 + 5x + 6)(x^2 + 4) = (x+2)(x+3)(x^2+4)$.

Неравенство принимает вид $(x+2)(x+3)(x^2+4) > 0$.

Множитель $x^2 + 4$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+4 \ge 4$. Можем разделить на него неравенство, не меняя знака.

Получаем $(x+2)(x+3) > 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty)$.

з)

Рассмотрим неравенство $x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6 < 0$.

Разложим многочлен $P(x) = x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6$ на множители. Ищем целочисленные корни среди делителей -6.

$P(-2) = 16 - (-8) - 5(4) - (-2) - 6 = 16 + 8 - 20 + 2 - 6 = 0$.

$P(3) = 81 - 27 - 5(9) - 3 - 6 = 81 - 27 - 45 - 3 - 6 = 0$.

Значит, множителями являются $(x+2)$ и $(x-3)$, а также их произведение $(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$. Разделим исходный многочлен на $x^2 - x - 6$:

$(x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6) : (x^2 - x - 6) = x^2 + 1$.

Разложение: $(x^2 - x - 6)(x^2 + 1) = (x-3)(x+2)(x^2+1)$.

Неравенство принимает вид $(x-3)(x+2)(x^2+1) < 0$.

Множитель $x^2 + 1$ всегда положителен. Разделив на него, получаем $(x-3)(x+2) < 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

и)

Рассмотрим неравенство $(x^2 + 2x + 2)(x - 3)(x + 4) > 0$.

Проанализируем множитель $x^2 + 2x + 2$. Найдем его дискриминант: $D = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то парабола $y = x^2 + 2x + 2$ целиком лежит выше оси абсцисс, то есть выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда положительно.

Мы можем разделить неравенство на этот положительный множитель, не меняя знака:

$(x - 3)(x + 4) > 0$.

Корни левой части: $x = 3$ и $x = -4$. Методом интервалов получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.

к)

Рассмотрим неравенство $(x^2 + x + 3)(x + 3)(x - 4) < 0$.

Проанализируем множитель $x^2 + x + 3$. Найдем его дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + x + 3$ всегда положительно.

Разделим неравенство на этот положительный множитель, не меняя знака:

$(x + 3)(x - 4) < 0$.

Корни левой части: $x = -3$ и $x = 4$. Методом интервалов получаем решение.

Ответ: $x \in (-3, 4)$.