Страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решите систему уравнений (2.56–2.59):

2.56 a) $\begin{cases} 2x^2 - 3xy + y^2 = 12 \\ y - 2x = -4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x^2 - 2xy + y^2 = 6 \\ x - 2y = 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} = -\frac{16}{3} \\ x + y = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x-1}{y+1} + \frac{y-1}{x+1} = -2,3 \\ x + y = 1; \end{cases}$

д) $\begin{cases} \frac{x-1}{y+2} + \frac{y-1}{x+2} = \frac{1}{4} \\ x + y = 2; \end{cases}$

е) $\begin{cases} \frac{x+1}{y-3} + \frac{y+1}{x-3} = -\frac{2}{3} \\ x + y = 4. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 - 3xy + y^2 = 12 \\ y - 2x = -4 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y через x:

$y = 2x - 4$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2x^2 - 3x(2x - 4) + (2x - 4)^2 = 12$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$2x^2 - 6x^2 + 12x + 4x^2 - 16x + 16 = 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 6x^2 + 4x^2) + (12x - 16x) + 16 = 12$

$0 \cdot x^2 - 4x + 16 = 12$

$-4x = 12 - 16$

$-4x = -4$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение y, подставив значение x в выражение $y = 2x - 4$:

$y = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1, -2)$.

Ответ: $(1, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy + y^2 = 6 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим x через y:

$x = 2y + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3(2y + 3)^2 - 2(2y + 3)y + y^2 = 6$

Раскроем скобки и упростим:

$3(4y^2 + 12y + 9) - (4y^2 + 6y) + y^2 = 6$

$12y^2 + 36y + 27 - 4y^2 - 6y + y^2 = 6$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$(12y^2 - 4y^2 + y^2) + (36y - 6y) + (27 - 6) = 0$

$9y^2 + 30y + 21 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$3y^2 + 10y + 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

$y_2 = \frac{-10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 4}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения x:

При $y_1 = -1$:

$x_1 = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$

При $y_2 = -\frac{7}{3}$:

$x_2 = 2(-\frac{7}{3}) + 3 = -\frac{14}{3} + \frac{9}{3} = -\frac{5}{3}$

Получили два решения системы.

Ответ: $(1, -1)$, $(-\frac{5}{3}, -\frac{7}{3})$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} = -\frac{16}{3} \\ x + y = 3 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $y+1 \neq 0 \implies y \neq -1$ и $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Из второго уравнения выразим y:

$y = 3 - x$

Подставим это в первое уравнение:

$\frac{x}{(3-x)+1} + \frac{3-x}{x+1} = -\frac{16}{3}$

$\frac{x}{4-x} + \frac{3-x}{x+1} = -\frac{16}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(4-x)(x+1)$:

$\frac{x(x+1) + (3-x)(4-x)}{(4-x)(x+1)} = -\frac{16}{3}$

$\frac{x^2+x + 12-7x+x^2}{-x^2+3x+4} = -\frac{16}{3}$

$\frac{2x^2-6x+12}{-x^2+3x+4} = -\frac{16}{3}$

Используем свойство пропорции:

$3(2x^2 - 6x + 12) = -16(-x^2 + 3x + 4)$

$6x^2 - 18x + 36 = 16x^2 - 48x - 64$

Перенесем все в правую часть:

$10x^2 - 30x - 100 = 0$

Разделим на 10:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1=5$, $x_2=-2$.

Найдем соответствующие значения y:

При $x_1=5$: $y_1 = 3 - 5 = -2$.

При $x_2=-2$: $y_2 = 3 - (-2) = 5$.

Оба решения $(5, -2)$ и $(-2, 5)$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(5, -2)$, $(-2, 5)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x-1}{y+1} + \frac{y-1}{x+1} = -2.3 \\ x + y = 1 \end{cases} $

ОДЗ: $y \neq -1$, $x \neq -1$.

Из второго уравнения: $y = 1 - x$. Подставим в первое:

$\frac{x-1}{(1-x)+1} + \frac{(1-x)-1}{x+1} = -2.3$

$\frac{x-1}{2-x} + \frac{-x}{x+1} = -\frac{23}{10}$

Приведем к общему знаменателю $(2-x)(x+1)$:

$\frac{(x-1)(x+1) - x(2-x)}{(2-x)(x+1)} = -\frac{23}{10}$

$\frac{x^2-1 - 2x+x^2}{-x^2+x+2} = -\frac{23}{10}$

$\frac{2x^2-2x-1}{-x^2+x+2} = -\frac{23}{10}$

По свойству пропорции:

$10(2x^2 - 2x - 1) = -23(-x^2 + x + 2)$

$20x^2 - 20x - 10 = 23x^2 - 23x - 46$

$3x^2 - 3x - 36 = 0$

Разделим на 3:

$x^2 - x - 12 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1=4$, $x_2=-3$.

Найдем y:

При $x_1=4$: $y_1 = 1 - 4 = -3$.

При $x_2=-3$: $y_2 = 1 - (-3) = 4$.

Оба решения $(4, -3)$ и $(-3, 4)$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, -3)$, $(-3, 4)$.

д)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x-1}{y+2} + \frac{y-1}{x+2} = \frac{1}{4} \\ x + y = 2 \end{cases} $

ОДЗ: $y \neq -2$, $x \neq -2$.

Из второго уравнения: $y = 2 - x$. Подставим в первое:

$\frac{x-1}{(2-x)+2} + \frac{(2-x)-1}{x+2} = \frac{1}{4}$

$\frac{x-1}{4-x} + \frac{1-x}{x+2} = \frac{1}{4}$

$\frac{x-1}{4-x} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{1}{4}$

Вынесем $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)\left(\frac{1}{4-x} - \frac{1}{x+2}\right) = \frac{1}{4}$

$(x-1)\left(\frac{x+2 - (4-x)}{(4-x)(x+2)}\right) = \frac{1}{4}$

$(x-1)\frac{2x-2}{(4-x)(x+2)} = \frac{1}{4}$

$\frac{2(x-1)^2}{(4-x)(x+2)} = \frac{1}{4}$

По свойству пропорции:

$8(x-1)^2 = (4-x)(x+2)$

$8(x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x + 8$

$8x^2 - 16x + 8 = -x^2 + 2x + 8$

$9x^2 - 18x = 0$

$9x(x-2) = 0$

Отсюда $x_1=0$ или $x_2=2$.

Найдем y:

При $x_1=0$: $y_1 = 2 - 0 = 2$.

При $x_2=2$: $y_2 = 2 - 2 = 0$.

Оба решения $(0, 2)$ и $(2, 0)$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(0, 2)$, $(2, 0)$.

е)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+1}{y-3} + \frac{y+1}{x-3} = -\frac{2}{3} \\ x + y = 4 \end{cases} $

ОДЗ: $y \neq 3$, $x \neq 3$.

Из второго уравнения: $y = 4 - x$. Подставим в первое:

$\frac{x+1}{(4-x)-3} + \frac{(4-x)+1}{x-3} = -\frac{2}{3}$

$\frac{x+1}{1-x} + \frac{5-x}{x-3} = -\frac{2}{3}$

$-\frac{x+1}{x-1} + \frac{5-x}{x-3} = -\frac{2}{3}$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-3)$:

$\frac{-(x+1)(x-3) + (5-x)(x-1)}{(x-1)(x-3)} = -\frac{2}{3}$

$\frac{-(x^2-2x-3) + (-x^2+6x-5)}{x^2-4x+3} = -\frac{2}{3}$

$\frac{-2x^2+8x-2}{x^2-4x+3} = -\frac{2}{3}$

$\frac{-2(x^2-4x+1)}{x^2-4x+3} = -\frac{2}{3}$

Разделим обе части на -2:

$\frac{x^2-4x+1}{x^2-4x+3} = \frac{1}{3}$

Сделаем замену $t = x^2-4x$:

$\frac{t+1}{t+3} = \frac{1}{3}$

$3(t+1) = t+3$

$3t+3=t+3 \implies 2t=0 \implies t=0$.

Вернемся к замене:

$x^2-4x = 0$

$x(x-4) = 0$

Отсюда $x_1=0$ или $x_2=4$.

Найдем y:

При $x_1=0$: $y_1 = 4 - 0 = 4$.

При $x_2=4$: $y_2 = 4 - 4 = 0$.

Оба решения $(0, 4)$ и $(4, 0)$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(0, 4)$, $(4, 0)$.

2.57 a) $\begin{cases} y^2 - 3xy = -2 \\ x^2 + 5xy = 11; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 7xy = 18 \\ y^2 + 5xy = -9; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 8y + 31 = 0 \\ y^2 - 2x - 14 = 0; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 + 6y + 14 = 0 \\ y^2 + 4x - 1 = 0. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y^2 - 3xy = -2 \\ x^2 + 5xy = 11 \end{cases} $

Это система, в которой левые части являются однородными многочленами. Чтобы избавиться от свободных членов, умножим первое уравнение на 11, а второе на 2:

$ \begin{cases} 11(y^2 - 3xy) = -2 \cdot 11 \\ 2(x^2 + 5xy) = 11 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 11y^2 - 33xy = -22 \\ 2x^2 + 10xy = 22 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(11y^2 - 33xy) + (2x^2 + 10xy) = -22 + 22$

$2x^2 - 23xy + 11y^2 = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Предположим, что $y \neq 0$, и разделим уравнение на $y^2$:

$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 23\left(\frac{x}{y}\right) + 11 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получаем квадратное уравнение:

$2t^2 - 23t + 11 = 0$

Найдем его корни. Дискриминант $D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 529 - 88 = 441 = 21^2$.

$t_1 = \frac{23 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{23 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{44}{4} = 11$

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:

1) $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$. Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$x^2 + 5x(2x) = 11$

$x^2 + 10x^2 = 11$

$11x^2 = 11 \implies x^2 = 1$. Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2(1) = 2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2(-1) = -2$.

Получили две пары решений: $(1; 2)$ и $(-1; -2)$.

2) $\frac{x}{y} = 11$, откуда $x = 11y$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$y^2 - 3(11y)y = -2$

$y^2 - 33y^2 = -2$

$-32y^2 = -2 \implies y^2 = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$. Отсюда $y_3 = \frac{1}{4}$ и $y_4 = -\frac{1}{4}$.

Если $y_3 = \frac{1}{4}$, то $x_3 = 11(\frac{1}{4}) = \frac{11}{4}$.

Если $y_4 = -\frac{1}{4}$, то $x_4 = 11(-\frac{1}{4}) = -\frac{11}{4}$.

Получили еще две пары решений: $(\frac{11}{4}; \frac{1}{4})$ и $(-\frac{11}{4}; -\frac{1}{4})$.

Заметим, что если $y=0$, то первое уравнение системы принимает вид $0 = -2$, что неверно. Следовательно, наше предположение $y \neq 0$ было верным.

Ответ: $(1; 2), (-1; -2), (\frac{11}{4}; \frac{1}{4}), (-\frac{11}{4}; -\frac{1}{4})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 7xy = 18 \\ y^2 + 5xy = -9 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 2, чтобы при сложении с первым уравнением избавиться от свободных членов:

$ \begin{cases} x^2 - 7xy = 18 \\ 2y^2 + 10xy = -18 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(x^2 - 7xy) + (2y^2 + 10xy) = 18 - 18$

$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$

Предполагая, что $y \neq 0$, разделим уравнение на $y^2$:

$\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 3\left(\frac{x}{y}\right) + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$t^2 + 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Рассмотрим два случая:

1) $\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$. Подставим в первое уравнение системы:

$(-y)^2 - 7(-y)y = 18$

$y^2 + 7y^2 = 18$

$8y^2 = 18 \implies y^2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$. Отсюда $y_1 = \frac{3}{2}$ и $y_2 = -\frac{3}{2}$.

Если $y_1 = \frac{3}{2}$, то $x_1 = -\frac{3}{2}$.

Если $y_2 = -\frac{3}{2}$, то $x_2 = \frac{3}{2}$.

Получили две пары решений: $(-\frac{3}{2}; \frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2}; -\frac{3}{2})$.

2) $\frac{x}{y} = -2$, откуда $x = -2y$. Подставим в первое уравнение:

$(-2y)^2 - 7(-2y)y = 18$

$4y^2 + 14y^2 = 18$

$18y^2 = 18 \implies y^2 = 1$. Отсюда $y_3 = 1$ и $y_4 = -1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = -2(1) = -2$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -2(-1) = 2$.

Получили еще две пары решений: $(-2; 1)$ и $(2; -1)$.

Если $y=0$, второе уравнение системы принимает вид $0 = -9$, что неверно. Следовательно, $y \neq 0$.

Ответ: $(-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}), (\frac{3}{2}; -\frac{3}{2}), (-2; 1), (2; -1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 8y + 31 = 0 \\ y^2 - 2x - 14 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(x^2 - 8y + 31) + (y^2 - 2x - 14) = 0 + 0$

$x^2 - 2x + y^2 - 8y + 17 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 17 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (-1 - 16 + 17) = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных чисел (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

$(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.

$(y - 4)^2 = 0 \implies y - 4 = 0 \implies y = 4$.

Выполним проверку, подставив найденное решение $(1; 4)$ в исходные уравнения.

Первое уравнение: $1^2 - 8(4) + 31 = 1 - 32 + 31 = 0$. Верно.

Второе уравнение: $4^2 - 2(1) - 14 = 16 - 2 - 14 = 0$. Верно.

Ответ: $(1; 4)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 6y + 14 = 0 \\ y^2 + 4x - 1 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(x^2 + 6y + 14) + (y^2 + 4x - 1) = 0 + 0$

$x^2 + 4x + y^2 + 6y + 13 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты:

$(x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 13 = 0$

$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 + (-4 - 9 + 13) = 0$

$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из них равен нулю.

$(x + 2)^2 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$.

$(y + 3)^2 = 0 \implies y + 3 = 0 \implies y = -3$.

Выполним проверку, подставив найденное решение $(-2; -3)$ в исходные уравнения.

Первое уравнение: $(-2)^2 + 6(-3) + 14 = 4 - 18 + 14 = 0$. Верно.

Второе уравнение: $(-3)^2 + 4(-2) - 1 = 9 - 8 - 1 = 0$. Верно.

Ответ: $(-2; -3)$.

2.58 a) $\begin{cases}\frac{x}{x+3} + \frac{x+3}{x} = \frac{17}{4} \\x^2 - 4xy + 4y^2 = 0\end{cases}$

б) $\begin{cases}\frac{y+1}{y+2} + \frac{y+2}{y+1} = \frac{25}{12} \\x^2 - 2xy + y^2 = 0\end{cases}$

В) $\begin{cases}\frac{2x+2y}{x-y} - \frac{3x-3y}{x+y} = 5 \\x^2 + y^2 = 90\end{cases}$

Г) $\begin{cases}\frac{4x-4y}{x+y} + \frac{3x+3y}{x-y} = 13 \\x^2 - y^2 = 12\end{cases}$

Д) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\xy + x + y = 5\end{cases}$

е) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 25 \\xy - x - y = 5\end{cases}$

Ж) $\begin{cases}x + y = xy \\x^2 + y^2 = 4xy\end{cases}$

З) $\begin{cases}x - y = 0,25xy \\x^2 + y^2 = 2,5xy\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}\frac{x}{x+3} + \frac{x+3}{x} = \frac{17}{4} \\x^2 - 4xy + 4y^2 = 0\end{cases}$$Сначала решим второе уравнение. Левая часть является полным квадратом:
$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x-2y)^2 = 0$
Отсюда следует, что $x - 2y = 0$, или $x = 2y$.
Теперь решим первое уравнение. Сделаем замену $t = \frac{x}{x+3}$. Тогда уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$
Умножим обе части на $4t$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии $x \neq 0, x \neq -3$):
$4t^2 + 4 = 17t \implies 4t^2 - 17t + 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$
$t_{1,2} = \frac{17 \pm 15}{8}$
$t_1 = \frac{17+15}{8} = 4$, $t_2 = \frac{17-15}{8} = \frac{1}{4}$
Вернемся к переменной $x$:
1) $\frac{x}{x+3} = 4 \implies x = 4(x+3) \implies x = 4x+12 \implies 3x = -12 \implies x = -4$.
Подставим найденное значение $x$ в соотношение $x=2y$: $-4 = 2y \implies y = -2$.
Первое решение: $(-4, -2)$.
2) $\frac{x}{x+3} = \frac{1}{4} \implies 4x = x+3 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
Подставим в $x=2y$: $1 = 2y \implies y = \frac{1}{2}$.
Второе решение: $(1, 1/2)$.

Ответ: $(-4, -2), (1, 1/2)$.

б)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}\frac{y+1}{y+2} + \frac{y+2}{y+1} = \frac{25}{12} \\x^2 - 2xy + y^2 = 0\end{cases}$$Второе уравнение представляет собой полный квадрат:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 = 0$
Отсюда следует, что $x - y = 0$, или $x = y$.
В первом уравнении сделаем замену $t = \frac{y+1}{y+2}$. Уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}$
Умножим на $12t$ (при условии $y \neq -1, y \neq -2$):
$12t^2 + 12 = 25t \implies 12t^2 - 25t + 12 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$
$t_{1,2} = \frac{25 \pm 7}{24}$
$t_1 = \frac{25+7}{24} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$, $t_2 = \frac{25-7}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$
Вернемся к переменной $y$:
1) $\frac{y+1}{y+2} = \frac{4}{3} \implies 3(y+1) = 4(y+2) \implies 3y+3 = 4y+8 \implies y = -5$.
Так как $x=y$, то $x=-5$. Первое решение: $(-5, -5)$.
2) $\frac{y+1}{y+2} = \frac{3}{4} \implies 4(y+1) = 3(y+2) \implies 4y+4 = 3y+6 \implies y = 2$.
Так как $x=y$, то $x=2$. Второе решение: $(2, 2)$.

Ответ: $(-5, -5), (2, 2)$.

в)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}\frac{2x+2y}{x-y} - \frac{3x-3y}{x+y} = 5 \\x^2 + y^2 = 90\end{cases}$$Преобразуем первое уравнение, вынеся общие множители:
$\frac{2(x+y)}{x-y} - \frac{3(x-y)}{x+y} = 5$
Сделаем замену $t = \frac{x+y}{x-y}$. Уравнение примет вид (при $x \neq y, x \neq -y$):
$2t - \frac{3}{t} = 5$
$2t^2 - 3 = 5t \implies 2t^2 - 5t - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$t_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{4}$
$t_1 = \frac{12}{4} = 3$, $t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Рассмотрим два случая:
1) $\frac{x+y}{x-y} = 3 \implies x+y = 3x-3y \implies 4y=2x \implies x=2y$.
Подставим это во второе уравнение системы: $(2y)^2+y^2=90 \implies 4y^2+y^2=90 \implies 5y^2=90 \implies y^2=18 \implies y=\pm 3\sqrt{2}$.
Если $y=3\sqrt{2}$, то $x=6\sqrt{2}$. Если $y=-3\sqrt{2}$, то $x=-6\sqrt{2}$.
Получаем два решения: $(6\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ и $(-6\sqrt{2}, -3\sqrt{2})$.
2) $\frac{x+y}{x-y} = -\frac{1}{2} \implies 2(x+y) = -(x-y) \implies 2x+2y = -x+y \implies 3x=-y \implies y=-3x$.
Подставим это во второе уравнение: $x^2+(-3x)^2=90 \implies x^2+9x^2=90 \implies 10x^2=90 \implies x^2=9 \implies x=\pm 3$.
Если $x=3$, то $y=-9$. Если $x=-3$, то $y=9$.
Получаем еще два решения: $(3, -9)$ и $(-3, 9)$.

Ответ: $(6\sqrt{2}, 3\sqrt{2}), (-6\sqrt{2}, -3\sqrt{2}), (3, -9), (-3, 9)$.

г)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}\frac{4x-4y}{x+y} + \frac{3x+3y}{x-y} = 13 \\x^2 - y^2 = 12\end{cases}$$Из второго уравнения следует, что $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=12$, значит $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Преобразуем первое уравнение:
$\frac{4(x-y)}{x+y} + \frac{3(x+y)}{x-y} = 13$
Сделаем замену $t = \frac{x-y}{x+y}$. Уравнение примет вид:
$4t + \frac{3}{t} = 13 \implies 4t^2 - 13t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121 = 11^2$
$t_{1,2} = \frac{13 \pm 11}{8}$
$t_1 = \frac{24}{8} = 3$, $t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Рассмотрим два случая:
1) $\frac{x-y}{x+y} = 3 \implies x-y=3x+3y \implies -2x=4y \implies x=-2y$.
Подставим во второе уравнение: $(-2y)^2-y^2=12 \implies 4y^2-y^2=12 \implies 3y^2=12 \implies y^2=4 \implies y=\pm 2$.
Если $y=2$, то $x=-4$. Если $y=-2$, то $x=4$.
Решения: $(-4, 2)$ и $(4, -2)$.
2) $\frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{4} \implies 4x-4y=x+y \implies 3x=5y \implies x=\frac{5}{3}y$.
Подставим во второе уравнение: $(\frac{5}{3}y)^2 - y^2 = 12 \implies \frac{25}{9}y^2-y^2=12 \implies \frac{16}{9}y^2=12 \implies y^2=\frac{12 \cdot 9}{16} = \frac{27}{4} \implies y=\pm\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Если $y=\frac{3\sqrt{3}}{2}$, то $x=\frac{5}{3}\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.
Если $y=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$, то $x=-\frac{5\sqrt{3}}{2}$.
Решения: $(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ и $(-\frac{5\sqrt{3}}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $(-4, 2), (4, -2), (\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}), (-\frac{5\sqrt{3}}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

д)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\xy + x + y = 5\end{cases}$$Это симметрическая система. Введем новые переменные: $u = x+y$, $v=xy$.
Используем тождество $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Система примет вид:$$\begin{cases}u^2 - 2v = 5 \\v + u = 5\end{cases}$$Из второго уравнения выразим $v = 5 - u$ и подставим в первое:
$u^2 - 2(5-u) = 5$
$u^2 - 10 + 2u = 5 \implies u^2 + 2u - 15 = 0$
По теореме Виета, $u_1=3, u_2=-5$.
Рассмотрим два случая:
1) $u=3$. Тогда $v=5-3=2$.
Возвращаемся к переменным $x,y$: $x+y=3, xy=2$.
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 3z + 2 = 0$.
$(z-1)(z-2)=0 \implies z_1=1, z_2=2$.
Решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.
2) $u=-5$. Тогда $v=5-(-5)=10$.
$x+y=-5, xy=10$.
Составим квадратное уравнение $z^2 - (-5)z + 10 = 0 \implies z^2 + 5z + 10 = 0$.
Дискриминант $D=5^2-4 \cdot 10 = 25-40=-15 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

е)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 25 \\xy - x - y = 5\end{cases}$$Это симметрическая система. Введем замены $u=x+y, v=xy$.
$xy - (x+y) = 5 \implies v-u=5$.
$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = u^2-2v=25$.
Получаем систему:$$\begin{cases}u^2 - 2v = 25 \\v - u = 5\end{cases}$$Из второго уравнения $v = u+5$. Подставим в первое:
$u^2 - 2(u+5) = 25$
$u^2 - 2u - 10 = 25 \implies u^2 - 2u - 35 = 0$
$(u-7)(u+5)=0 \implies u_1=7, u_2=-5$.
Рассмотрим два случая:
1) $u=7$. Тогда $v=7+5=12$.
$x+y=7, xy=12$.
$z^2-7z+12=0 \implies (z-3)(z-4)=0 \implies z_1=3, z_2=4$.
Решения: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.
2) $u=-5$. Тогда $v=-5+5=0$.
$x+y=-5, xy=0$.
Из $xy=0$ следует, что $x=0$ или $y=0$.
Если $x=0$, то $y=-5$. Если $y=0$, то $x=-5$.
Решения: $(0, -5)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: $(3, 4), (4, 3), (0, -5), (-5, 0)$.

ж)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x + y = xy \\x^2 + y^2 = 4xy\end{cases}$$Введем замены $u=x+y, v=xy$.
$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = u^2-2v$.
Система примет вид:$$\begin{cases}u = v \\u^2 - 2v = 4v\end{cases}$$Подставим $v=u$ во второе уравнение:
$u^2 - 2u = 4u \implies u^2 - 6u = 0 \implies u(u-6)=0$.
$u_1=0, u_2=6$.
Рассмотрим два случая:
1) $u=0$. Тогда $v=0$.
$x+y=0, xy=0$.
Из $xy=0$ следует, что $x=0$ или $y=0$. В обоих случаях из $x+y=0$ второй множитель тоже равен нулю.
Решение: $(0, 0)$.
2) $u=6$. Тогда $v=6$.
$x+y=6, xy=6$.
$x, y$ - корни уравнения $z^2 - 6z + 6 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$.
$z = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$.
Решения: $(3+\sqrt{3}, 3-\sqrt{3})$ и $(3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3})$.

Ответ: $(0, 0), (3+\sqrt{3}, 3-\sqrt{3}), (3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3})$.

з)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x - y = 0.25xy \\x^2 + y^2 = 2.5xy\end{cases}$$Очевидно, пара $(0,0)$ является решением системы.
Рассмотрим случай, когда $x \neq 0, y \neq 0$.
Преобразуем второе уравнение, используя формулу квадрата разности:
$x^2+y^2 = (x-y)^2 + 2xy$.
Подставим это во второе уравнение:
$(x-y)^2 + 2xy = 2.5xy$
$(x-y)^2 = 0.5xy$
Теперь подставим в это уравнение выражение для $x-y$ из первого уравнения системы:
$(0.25xy)^2 = 0.5xy$
$0.0625x^2y^2 = 0.5xy$
Поскольку мы предположили, что $x \neq 0, y \neq 0$, мы можем разделить обе части на $xy$:
$0.0625xy = 0.5$
$\frac{1}{16}xy = \frac{1}{2} \implies xy = 8$.
Теперь, зная $xy$, из первого уравнения находим $x-y$:
$x-y = 0.25 \cdot 8 = 2$.
Получаем новую, более простую систему:$$\begin{cases}x-y=2 \\xy=8\end{cases}$$Из первого уравнения $x=y+2$. Подставим во второе:
$(y+2)y=8 \implies y^2+2y-8=0$.
По теореме Виета $y_1=2, y_2=-4$.
1) Если $y=2$, то $x=2+2=4$. Решение: $(4, 2)$.
2) Если $y=-4$, то $x=-4+2=-2$. Решение: $(-2, -4)$.
Не забываем про решение $(0,0)$.

Ответ: $(0, 0), (4, 2), (-2, -4)$.

2.59* а) $ \begin{cases} 9x^2 - 10xy + 4y^2 = 3 \\ 2xy - 3x + 2y = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 4x^2 - 7xy + y^2 = 3 \\ xy + 4x - 2y = 8; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 + x + y = -\frac{5}{9}; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 + 2xy - 3y^2 = 0 \\ y^2 + x + y = \frac{5}{4}; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^3 - y^3 = 117; \end{cases} $

ж) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^3 + y^3 = -1; \end{cases} $

з) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x^3 + y^3 = 8. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 9x^2 - 10xy + 4y^2 = 3 \\ 2xy - 3x + 2y = 1 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, выделив полный квадрат: $9x^2 - 12xy + 4y^2 + 2xy = 3$ $(3x - 2y)^2 + 2xy = 3$

Из второго уравнения выразим $2xy$: $2xy = 1 + 3x - 2y$

Подставим выражение для $2xy$ в преобразованное первое уравнение: $(3x - 2y)^2 + (1 + 3x - 2y) = 3$

Сделаем замену $u = 3x - 2y$. Уравнение примет вид: $u^2 + 1 + u = 3$ $u^2 + u - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $u$. Корни можно найти по теореме Виета: $u_1 = 1$, $u_2 = -2$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 1$, то есть $3x - 2y = 1$. Подставим это в выражение для $2xy$: $2xy = 1 + (3x - 2y) = 1 + 1 = 2$, откуда $xy = 1$. Получаем систему: $ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ xy = 1 \end{cases} $ Из второго уравнения $y = 1/x$. Подставляем в первое: $3x - 2/x = 1$ $3x^2 - x - 2 = 0$ Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$. $x = \frac{1 \pm 5}{6}$. $x_1 = 1$, тогда $y_1 = 1/1 = 1$. $x_2 = -4/6 = -2/3$, тогда $y_2 = 1/(-2/3) = -3/2$. Получены решения: $(1, 1)$ и $(-2/3, -3/2)$.

Случай 2: $u = -2$, то есть $3x - 2y = -2$. Подставим это в выражение для $2xy$: $2xy = 1 + (3x - 2y) = 1 - 2 = -1$, откуда $xy = -1/2$. Получаем систему: $ \begin{cases} 3x - 2y = -2 \\ xy = -1/2 \end{cases} $ Из второго уравнения $y = -1/(2x)$. Подставляем в первое: $3x - 2(-1/(2x)) = -2$ $3x + 1/x = -2$ $3x^2 + 2x + 1 = 0$ Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8 < 0$. В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(1, 1)$, $(-2/3, -3/2)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x^2 - 7xy + y^2 = 3 \\ xy + 4x - 2y = 8 \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение и попробуем его разложить на множители: $xy + 4x - 2y - 8 = 0$ $x(y+4) - 2(y+4) = 0$ $(x-2)(y+4) = 0$

Это равенство выполняется, если $x-2=0$ или $y+4=0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Подставим $x=2$ в первое уравнение системы: $4(2)^2 - 7(2)y + y^2 = 3$ $16 - 14y + y^2 = 3$ $y^2 - 14y + 13 = 0$ По теореме Виета, корни $y_1 = 1$, $y_2 = 13$. Получаем два решения: $(2, 1)$ и $(2, 13)$.

Случай 2: $y + 4 = 0$, то есть $y = -4$. Подставим $y=-4$ в первое уравнение системы: $4x^2 - 7x(-4) + (-4)^2 = 3$ $4x^2 + 28x + 16 = 3$ $4x^2 + 28x + 13 = 0$ Дискриминант $D = 28^2 - 4 \cdot 4 \cdot 13 = 784 - 208 = 576 = 24^2$. $x = \frac{-28 \pm 24}{8}$. $x_3 = \frac{-28+24}{8} = -4/8 = -1/2$. $x_4 = \frac{-28-24}{8} = -52/8 = -13/2$. Получаем еще два решения: $(-1/2, -4)$ и $(-13/2, -4)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, 13)$, $(-1/2, -4)$, $(-13/2, -4)$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 + x + y = -5/9 \end{cases} $

Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители как квадратное уравнение относительно $x$: $(x-y)(x-2y) = 0$. Отсюда следует, что $x=y$ или $x=2y$.

Случай 1: $x=y$. Подставим во второе уравнение: $y^2 + y + y = -5/9$ $y^2 + 2y + 5/9 = 0$ $9y^2 + 18y + 5 = 0$ $D = 18^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 324 - 180 = 144 = 12^2$. $y = \frac{-18 \pm 12}{18}$. $y_1 = -6/18 = -1/3$, тогда $x_1 = -1/3$. $y_2 = -30/18 = -5/3$, тогда $x_2 = -5/3$. Решения: $(-1/3, -1/3)$ и $(-5/3, -5/3)$.

Случай 2: $x=2y$. Подставим во второе уравнение: $(2y)^2 + 2y + y = -5/9$ $4y^2 + 3y + 5/9 = 0$ $36y^2 + 27y + 5 = 0$ $D = 27^2 - 4 \cdot 36 \cdot 5 = 729 - 720 = 9 = 3^2$. $y = \frac{-27 \pm 3}{72}$. $y_3 = -24/72 = -1/3$, тогда $x_3 = 2(-1/3) = -2/3$. $y_4 = -30/72 = -5/12$, тогда $x_4 = 2(-5/12) = -5/6$. Решения: $(-2/3, -1/3)$ и $(-5/6, -5/12)$.

Ответ: $(-1/3, -1/3)$, $(-5/3, -5/3)$, $(-2/3, -1/3)$, $(-5/6, -5/12)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 2xy - 3y^2 = 0 \\ y^2 + x + y = -5/4 \end{cases} $

Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители: $(x-y)(x+3y) = 0$. Отсюда $x=y$ или $x=-3y$.

Случай 1: $x=y$. Подставим во второе уравнение: $y^2 + y + y = -5/4$ $y^2 + 2y + 5/4 = 0$ $4y^2 + 8y + 5 = 0$ Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 64 - 80 = -16 < 0$. Действительных решений в этом случае нет.

Случай 2: $x=-3y$. Подставим во второе уравнение: $y^2 - 3y + y = -5/4$ $y^2 - 2y + 5/4 = 0$ $4y^2 - 8y + 5 = 0$ Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 64 - 80 = -16 < 0$. Действительных решений в этом случае также нет.

Ответ: Нет действительных решений.

д)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} $

Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Подставим известные значения: $35 = 5(x^2 - xy + y^2)$ $x^2 - xy + y^2 = 7$

Также из первого уравнения $(x+y)^2 = 5^2$, то есть $x^2 + 2xy + y^2 = 25$. Получим систему: $ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 25 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $ Вычтем из первого уравнения второе: $(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 25 - 7$ $3xy = 18 \implies xy = 6$.

Теперь решаем систему: $ \begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases} $ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. Корни этого уравнения $t_1=2, t_2=3$.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

е)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^3 - y^3 = 117 \end{cases} $

Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$. Подставим известные значения: $117 = 3(x^2 + xy + y^2)$ $x^2 + xy + y^2 = 39$

Из первого уравнения $(x-y)^2 = 3^2$, то есть $x^2 - 2xy + y^2 = 9$. Получим систему: $ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 39 \\ x^2 - 2xy + y^2 = 9 \end{cases} $ Вычтем из первого уравнения второе: $(x^2 + xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 39 - 9$ $3xy = 30 \implies xy = 10$.

Теперь решаем систему: $ \begin{cases} x-y=3 \\ xy=10 \end{cases} $ Из первого уравнения $x = y+3$. Подставляем во второе: $(y+3)y = 10$ $y^2 + 3y - 10 = 0$ Корни этого уравнения $y_1=2, y_2=-5$. Если $y_1=2$, то $x_1 = 2+3=5$. Если $y_2=-5$, то $x_2 = -5+3=-2$.

Ответ: $(5, 2)$, $(-2, -5)$.

ж)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^3 + y^3 = -1 \end{cases} $

Это симметрическая система. Введем замены: $s = x+y$, $p = xy$. $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2p = 1$. $x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = s^3 - 3sp = -1$.

Из первого уравнения $p = \frac{s^2-1}{2}$. Подставим во второе: $s^3 - 3s \left(\frac{s^2-1}{2}\right) = -1$ $2s^3 - 3s(s^2-1) = -2$ $2s^3 - 3s^3 + 3s = -2$ $-s^3 + 3s + 2 = 0 \implies s^3 - 3s - 2 = 0$.

Подбором находим корень $s=-1$. Разделим многочлен $s^3 - 3s - 2$ на $(s+1)$: $(s+1)(s^2-s-2) = 0$. Разложим квадратный трехчлен: $s^2-s-2 = (s-2)(s+1)$. Получаем $(s+1)^2(s-2)=0$, откуда $s=-1$ или $s=2$.

Случай 1: $s = -1$. $p = \frac{(-1)^2-1}{2} = 0$. Система $x+y=-1$, $xy=0$ дает решения $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Случай 2: $s = 2$. $p = \frac{2^2-1}{2} = 3/2$. $x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 - 2t + 3/2 = 0 \implies 2t^2 - 4t + 3 = 0$. $D = 16 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = -8 < 0$. Действительных решений нет.

Ответ: $(-1, 0)$, $(0, -1)$.

з)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x^3 + y^3 = 8 \end{cases} $

Это симметрическая система. Введем замены: $s = x+y$, $p = xy$. $x^2+y^2 = s^2 - 2p = 4$. $x^3+y^3 = s^3 - 3sp = 8$.

Из первого уравнения $p = \frac{s^2-4}{2}$. Подставим во второе: $s^3 - 3s \left(\frac{s^2-4}{2}\right) = 8$ $2s^3 - 3s(s^2-4) = 16$ $2s^3 - 3s^3 + 12s = 16$ $-s^3 + 12s - 16 = 0 \implies s^3 - 12s + 16 = 0$.

Подбором находим корень $s=2$. Разделим многочлен $s^3 - 12s + 16$ на $(s-2)$: $(s-2)(s^2+2s-8) = 0$. Разложим квадратный трехчлен: $s^2+2s-8 = (s+4)(s-2)$. Получаем $(s-2)^2(s+4)=0$, откуда $s=2$ или $s=-4$.

Случай 1: $s = 2$. $p = \frac{2^2-4}{2} = 0$. Система $x+y=2$, $xy=0$ дает решения $(2, 0)$ и $(0, 2)$.

Случай 2: $s = -4$. $p = \frac{(-4)^2-4}{2} = \frac{12}{2} = 6$. $x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 - (-4)t + 6 = 0 \implies t^2 + 4t + 6 = 0$. $D = 16 - 4 \cdot 6 = -8 < 0$. Действительных решений нет.

Ответ: $(2, 0)$, $(0, 2)$.