Номер 2.56, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.7. Системы рациональных уравнений. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.56, страница 74.

Решите систему уравнений (2.56–2.59):

2.56 a) $\begin{cases} 2x^2 - 3xy + y^2 = 12 \\ y - 2x = -4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x^2 - 2xy + y^2 = 6 \\ x - 2y = 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} = -\frac{16}{3} \\ x + y = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x-1}{y+1} + \frac{y-1}{x+1} = -2,3 \\ x + y = 1; \end{cases}$

д) $\begin{cases} \frac{x-1}{y+2} + \frac{y-1}{x+2} = \frac{1}{4} \\ x + y = 2; \end{cases}$

е) $\begin{cases} \frac{x+1}{y-3} + \frac{y+1}{x-3} = -\frac{2}{3} \\ x + y = 4. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 - 3xy + y^2 = 12 \\ y - 2x = -4 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y через x:

$y = 2x - 4$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2x^2 - 3x(2x - 4) + (2x - 4)^2 = 12$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$2x^2 - 6x^2 + 12x + 4x^2 - 16x + 16 = 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 6x^2 + 4x^2) + (12x - 16x) + 16 = 12$

$0 \cdot x^2 - 4x + 16 = 12$

$-4x = 12 - 16$

$-4x = -4$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение y, подставив значение x в выражение $y = 2x - 4$:

$y = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1, -2)$.

Ответ: $(1, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy + y^2 = 6 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим x через y:

$x = 2y + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3(2y + 3)^2 - 2(2y + 3)y + y^2 = 6$

Раскроем скобки и упростим:

$3(4y^2 + 12y + 9) - (4y^2 + 6y) + y^2 = 6$

$12y^2 + 36y + 27 - 4y^2 - 6y + y^2 = 6$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$(12y^2 - 4y^2 + y^2) + (36y - 6y) + (27 - 6) = 0$

$9y^2 + 30y + 21 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$3y^2 + 10y + 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

$y_2 = \frac{-10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 4}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения x:

При $y_1 = -1$:

$x_1 = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$

При $y_2 = -\frac{7}{3}$:

$x_2 = 2(-\frac{7}{3}) + 3 = -\frac{14}{3} + \frac{9}{3} = -\frac{5}{3}$

Получили два решения системы.

Ответ: $(1, -1)$, $(-\frac{5}{3}, -\frac{7}{3})$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} = -\frac{16}{3} \\ x + y = 3 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $y+1 \neq 0 \implies y \neq -1$ и $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Из второго уравнения выразим y:

$y = 3 - x$

Подставим это в первое уравнение:

$\frac{x}{(3-x)+1} + \frac{3-x}{x+1} = -\frac{16}{3}$

$\frac{x}{4-x} + \frac{3-x}{x+1} = -\frac{16}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(4-x)(x+1)$:

$\frac{x(x+1) + (3-x)(4-x)}{(4-x)(x+1)} = -\frac{16}{3}$

$\frac{x^2+x + 12-7x+x^2}{-x^2+3x+4} = -\frac{16}{3}$

$\frac{2x^2-6x+12}{-x^2+3x+4} = -\frac{16}{3}$

Используем свойство пропорции:

$3(2x^2 - 6x + 12) = -16(-x^2 + 3x + 4)$

$6x^2 - 18x + 36 = 16x^2 - 48x - 64$

Перенесем все в правую часть:

$10x^2 - 30x - 100 = 0$

Разделим на 10:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1=5$, $x_2=-2$.

Найдем соответствующие значения y:

При $x_1=5$: $y_1 = 3 - 5 = -2$.

При $x_2=-2$: $y_2 = 3 - (-2) = 5$.

Оба решения $(5, -2)$ и $(-2, 5)$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(5, -2)$, $(-2, 5)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x-1}{y+1} + \frac{y-1}{x+1} = -2.3 \\ x + y = 1 \end{cases} $

ОДЗ: $y \neq -1$, $x \neq -1$.

Из второго уравнения: $y = 1 - x$. Подставим в первое:

$\frac{x-1}{(1-x)+1} + \frac{(1-x)-1}{x+1} = -2.3$

$\frac{x-1}{2-x} + \frac{-x}{x+1} = -\frac{23}{10}$

Приведем к общему знаменателю $(2-x)(x+1)$:

$\frac{(x-1)(x+1) - x(2-x)}{(2-x)(x+1)} = -\frac{23}{10}$

$\frac{x^2-1 - 2x+x^2}{-x^2+x+2} = -\frac{23}{10}$

$\frac{2x^2-2x-1}{-x^2+x+2} = -\frac{23}{10}$

По свойству пропорции:

$10(2x^2 - 2x - 1) = -23(-x^2 + x + 2)$

$20x^2 - 20x - 10 = 23x^2 - 23x - 46$

$3x^2 - 3x - 36 = 0$

Разделим на 3:

$x^2 - x - 12 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1=4$, $x_2=-3$.

Найдем y:

При $x_1=4$: $y_1 = 1 - 4 = -3$.

При $x_2=-3$: $y_2 = 1 - (-3) = 4$.

Оба решения $(4, -3)$ и $(-3, 4)$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, -3)$, $(-3, 4)$.

д)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x-1}{y+2} + \frac{y-1}{x+2} = \frac{1}{4} \\ x + y = 2 \end{cases} $

ОДЗ: $y \neq -2$, $x \neq -2$.

Из второго уравнения: $y = 2 - x$. Подставим в первое:

$\frac{x-1}{(2-x)+2} + \frac{(2-x)-1}{x+2} = \frac{1}{4}$

$\frac{x-1}{4-x} + \frac{1-x}{x+2} = \frac{1}{4}$

$\frac{x-1}{4-x} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{1}{4}$

Вынесем $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)\left(\frac{1}{4-x} - \frac{1}{x+2}\right) = \frac{1}{4}$

$(x-1)\left(\frac{x+2 - (4-x)}{(4-x)(x+2)}\right) = \frac{1}{4}$

$(x-1)\frac{2x-2}{(4-x)(x+2)} = \frac{1}{4}$

$\frac{2(x-1)^2}{(4-x)(x+2)} = \frac{1}{4}$

По свойству пропорции:

$8(x-1)^2 = (4-x)(x+2)$

$8(x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x + 8$

$8x^2 - 16x + 8 = -x^2 + 2x + 8$

$9x^2 - 18x = 0$

$9x(x-2) = 0$

Отсюда $x_1=0$ или $x_2=2$.

Найдем y:

При $x_1=0$: $y_1 = 2 - 0 = 2$.

При $x_2=2$: $y_2 = 2 - 2 = 0$.

Оба решения $(0, 2)$ и $(2, 0)$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(0, 2)$, $(2, 0)$.

е)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+1}{y-3} + \frac{y+1}{x-3} = -\frac{2}{3} \\ x + y = 4 \end{cases} $

ОДЗ: $y \neq 3$, $x \neq 3$.

Из второго уравнения: $y = 4 - x$. Подставим в первое:

$\frac{x+1}{(4-x)-3} + \frac{(4-x)+1}{x-3} = -\frac{2}{3}$

$\frac{x+1}{1-x} + \frac{5-x}{x-3} = -\frac{2}{3}$

$-\frac{x+1}{x-1} + \frac{5-x}{x-3} = -\frac{2}{3}$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-3)$:

$\frac{-(x+1)(x-3) + (5-x)(x-1)}{(x-1)(x-3)} = -\frac{2}{3}$

$\frac{-(x^2-2x-3) + (-x^2+6x-5)}{x^2-4x+3} = -\frac{2}{3}$

$\frac{-2x^2+8x-2}{x^2-4x+3} = -\frac{2}{3}$

$\frac{-2(x^2-4x+1)}{x^2-4x+3} = -\frac{2}{3}$

Разделим обе части на -2:

$\frac{x^2-4x+1}{x^2-4x+3} = \frac{1}{3}$

Сделаем замену $t = x^2-4x$:

$\frac{t+1}{t+3} = \frac{1}{3}$

$3(t+1) = t+3$

$3t+3=t+3 \implies 2t=0 \implies t=0$.

Вернемся к замене:

$x^2-4x = 0$

$x(x-4) = 0$

Отсюда $x_1=0$ или $x_2=4$.

Найдем y:

При $x_1=0$: $y_1 = 4 - 0 = 4$.

При $x_2=4$: $y_2 = 4 - 4 = 0$.

Оба решения $(0, 4)$ и $(4, 0)$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(0, 4)$, $(4, 0)$.